1. Приведите классическое определение вероятности и укажите, при соблюдении каких условий оно применимо.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равно возможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Р(А)=m/n

2. Исходя из трех аксиом теории вероятностей, докажите, что вероятность любого события а подчиняется неравенству .

Вероятность события А Р(А) = m/n

m – число элементран. исходов, благоприятствующих А

n – число всех возможных элементран. исходов.

А. Р(А)=m/n=n/n=1 (m=n)

B. P(A)=m/n=0/n=0 (m=0)

С. 0<P(A)<1 (0<m<n, значит 0<m/n<1)

0<P(A)< 1

3. Дайте определение события , противоположного событию а. Докажите, исходя из трех аксиом теории вероятностей, что .

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из 2-х противоположных событий обозначено через А, то другое - .

P(A) + P( )=1

Противополож. события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.*

*P(A₁)+P(A₂)+. . .+P(A_n)=1

Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна 1, то P(A₁+A₂+. . .+A_n)=1. Любые 2 события полной группы несовместны, поэтому можно применить теория сложения:

P(A₁+A₂+. . .+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+. . .+P(A_n). Сравнив, получим: P(A₁)+P(A₂)+. . .+P(A_n)=1

4. Если из появления события В непременно следует появление события А, то что представляют собой события А + В и АВ?

Если из появления события В непременно следует появление события А, то события являются зависимыми и значит, что А+В – появление обоих событий. АВ – событие, состоящее в совместном появлении (совмещении) событий А и В.

5. Если появление события в непременно влечет за собой появление события а, то как в этом случае соподчинены противоположные им события и ?

Значит, что события А и В эквиваленты, не А и не В эквивалентны тоже

влечет за собой

6. В условиях, при которых верна классическая формула вероятности (т. е. для опыта с конечным числом равновозможных элементарных исходов), докажите, что вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

P(A+B)=P(A)+P(B)

n – Общее число элементарных возможных исходов

m1 – число исходов, благоприятствующих А

m2 - число исходов, благоприятствующих В

Число элементарных исходов, благоприятствует либо А, либо В = m1+m2. Следовательно,

P(A+B)=(m1+m2)/n=m1/n+m2/n

m1/n = P(A) ; m2/n = P(B)

7. Приведите формулу вероятности суммы двух совместных событий А и В. Пользуясь классическим определением вероятности, докажите эту формулу для опыта с конечным числом равновозможных элементарных исходов.

Знак суммы не нашла, простите, он пишется как ∩ только вверх ногами, поэтому писать его буду как он произносится ИЛИ

Формулу вероятности суммы двух совместных событий А и В:

Р(АилиВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А∩В)

Доказательство:

Конечная схема с равновозможными элементарными исходами определяется так. Имеется конечный набор элементарных событий Ω={w₁……w_n} и для каждого элементарного события w_i задана его вероятность р_i=1/n и

n

∑р_{i i} = 1

i=1

Событие А={w_{i 1}……w_{i m}}.

m

Р(А)= ∑ р_{i I} где р_i=1/n

I=1

m

Получаем Р(А)= ∑ (1/n)_i

I=1

Пусть А={w_{i 1}……w_{i m}} и В= w_{j 1}……w_{j k}}.

m k

Р(А)= ∑ р_{i i} и Р(В)= ∑ р_{j к}

i=1 j

Событие С=АилиВ= {w_i1……w_im , w_{j1………….} w_jk, w_j1 …... w_im }-это математически записан рисунок

Промежуток {_, w_j1 …... w_im }= Р(А∩В) Получается

m k

Р(С)= ∑ р_{i i} + ∑ р_{j к} - Р(А∩В)= Р(А)+ Р(В) - Р(А∩В)

i=1 j=1

Еще один способ доказательства без использования классической формулы, зато точно правильный

Доказательство. Событие В = (B\A) или (А∩В), при этом события В\А и А илиВ несовместны (так как (В\А) ∩(А∩В) = 0/), поэтому по аксиоме аддитивности Р{В) = Р{В\А) + Р{А илиВ}, значит, Р{В\А) = Р(В) - Р{А∩В). Далее, А или В = Аили (В\А), при этом события А и В\А также несовместны (так как А∩(В\А) = 0/), поэтому по аксиоме аддитивности Р{Аили В) = Р(А) + Р{В\А). Подставляя в последнюю формулу выражение для Р{В\А), окончательно получаем Р{А или В) = Р{А) + Р{ В) - Р(А∩В}, что и требовалось доказать.