8. Приведите пример какого-либо опыта с конечным числом элементарных исходов, в условиях которого нельзя исчислять вероятности событий по формуле классического определения вероятности.

Ограниченность классического определения вероятности, в частности, заложена в равновозможности исходов.

Рассмотрим, например, стрельбу по круговой мишени. Элементарными исходами здесь являются попадания в то или иное кольцо круговой мишени. Попадение в малый внутрен­ний круг оценивается в 10 очков, в окружающее его коль­цо — 9 очков, в следующее — 8 и т. д., в самое внешнее кольцо — одно очко, непопадание в круговую мишень — нуль очков. Итак, имеется одиннадцать элементарных событий w₁₀, w_{9 ……}w₀. Для каждого стрелка определенного класса имеют­ся свои определенные устойчивые шансы (вероятности) вы­бить за один выстрел то или иное число очков р₁₀, р₉ ... , p₀. Эти события, вообще говоря, неравновозможны. Например, для мастеров спорта, по-видимому, исключено событие w₀, поэтому р_о = 0, т. е. сразу исключается равновозможность.

Курсивом пояснение как решать такие задачи.

Конечная схема с неравновозможными исходами опреде­ляется так. Имеется конечный набор элементарных событий Ω={w₁……w_n} и для каждого элементарного события w_i задана его вероятность р_i=1/n и

n

∑р_{i i} = 1

i=1

Событие А={w_{i 1}……w_{i m}}.

m

Р(А)= ∑ р_{i I}

I=1

Эта схема является обобщением классической схемы.

Еще примеры:

Пример 1.2. Система контроля изделий состоит из двух неза­висимых проверок, выполняемых одновременно. Изделие принимает­ся, если оно прошло обе проверки. В результате каждой проверки бракованное изделие принимается с вероятностями альфа1 и альфа2 соответ­ственно. Найти вероятность принять бракованное изделие.

Пример 1.3. В условиях примера 1.2 заданы вероятности бетта1 и бетта2 отбраковать годное изделие в результате первой и второй проверок соответственно. Найти вероятность отбраковать годное изделие.

9. Приведите известные вам формулы комбинаторики, которые используются при непосредственном исчислении вероятности по её классическому определению.

A^m_n =n!/(n-m)!=n(n-1). . .(n-m+1) –размещения

P_n = n!=n(n-1)(n-2). . .1 – перестановки

C^m_n= A^m_n/P_m= n!/(m!(n-m)!) – сочетание

10. Приведите определение условной вероятности.

Условная вероятность – вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило - P_A(B)

P_A(B) = P(AB)/P(A) (P(A)>0)

11. Зависимость и независимость двух событий (определение)

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от вероятности того, произошло или не произошло другое.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

12. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий (формулировка)

Вероятность произведения двух независимых событий равно произведению вероятностей этих событий Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Вероятность совместного появления двух событий равно произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило P(A)*P(C/A)=P(AC)

13. Сформулируйте условие, при котором для вычисления вероятности следует применять теорему умножения для зависимых событий. Приведите формулировку этой теоремы.

При условии того, что из одного события «вытекает» другое.

Вероятность совместного появления двух событий равно произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило P(AC) = P(A)*P(C/A).

14. Сформулируйте условие, при выполнении которого можно утверждать, что событие не зависит от события ?

если условная вероятность события В равно его безусловной вероятности: Ра(В)=Р(В)

15. Сформулируйте условие, при выполнении которого можно утверждать, что событие зависит от события ?

два события называются зависимыми, если вероятность их совмещения не равна произведению вероятности этих событий!

16. Сформулируйте условие, при выполнении которого можно утверждать, что событие В зависит от события А.

Два события называются зависимыми, если вероятность их совмещения не равна произведению вероятности этих событий!

17. Докажите, что два несовместных события А и В (с положительными вероятностями наступления) всегда являются зависимыми.

P(Омега)= P(A+B)+P(A+B) (Последняя скобка сверху черта-«Не»)=1

P(Омега)= P(A)+P(B)+P(A+B) (Последняя скобка сверху черта-«Не»)=1

P(B)=1-P(A)- P(A+B) (Последняя скобка сверху черта-«Не»)

18. Сформулируйте условия, при выполнении которых можно утверждать, что гипотезы Н₁, Н₂, Н_n образуют полную группу событий.

Говорят, что события H1, H2, …, Hn образуют полную группу, если они попарно несовместны (H_i ∩H_j = ∅, i ≠ j), и их объединение эквивалентно достоверному событию (H₁ ∪H₂ ∪ ··· ∪H_n = Ω).

19. Сформулируйте условия, при выполнении которых можно для вычисления вероятности некоторого события А можно использовать формулу полной вероятности. Приведите формулировку и краткое доказательство формулы полной вероятности.

Если события H1, H2, …, Hn ∈ S образуют полную группу и имеют положительные вероятности, то для любого события A ∈ S

n

P(A)=P(A│H₁)P(H₁)+P(A│H₂)P(H₂)+…+P(A│H_n)P(H_n)= ∑P(A│H_i)P(H_i).

i=1

В соответствии с этой формулой вероятность наступления события A может быть представлена как сумма произведений условных вероятностей события A при условии наступления событий Hi на безусловные вероятности этих событий Hi. Поскольку среди событий H1, H2, …, Hn, образующих полную группу, в результате опыта должно наступить одно и только одно, эти события Hi называют гипотезами (i = 1, 2, …, n).

Доказательство. Очевидно, A = (A∩H1)∪(A∩H2)∪ · · · ∪(A∩Hn), причем события (A∩H1), (A∩H2), …, (A∩Hn) несовместны (поскольку несовместны события H1, H2, …, Hn). По аксиоме аддитивности вероятности P(A) = P(A∩H1) + P(A∩ | H2)P(H2) + ··· + P(A∩Hn). Каждую из вероятностей P(A∩Hi) раскроем по формуле умножения вероятностей: P(A∩Hi) = P(A | Hi)P(Hi) (i = 1, 2, …, n). Подставляя, получаем: P(A) = P(A | H1)P(H1) + P(A | H2)P(H2) + · · + P(A | Hn)P(Hn), что и требовалось доказать. 􀂉

Формула полной вероятности остается справедливой и в случае, если условие, состоящее в том, что события H1, H2, …, Hn образуют полную группу, заменить более слабым: гипотезы H1, H2, …, Hn попарно несовместны (Hi ∩Hj = ∅ при i ≠ j), а событие A влечет за собой объединение этих гипотез (A ⊆ H1∪H2∪ ··· ∪Hn).