65. Понятие гистограммы частот, способ построения, пример.

66. Оценка плотности распределения выборки, ее свойства, способ построения.

выборочным аналогом плотности распределения f_x (x) случайной величины Х служит

p_i "с крышечкой"

выборочная плотность распределения f_x "с крышечкой" (x)=¯h¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ при х принадлежит [a_i ; a_i+1) (i=1,2,3…, v), ее график называется гистограммой, а ломанная с вершинами в точках х принадлежит [ х’_i ; p_i "с крышечкой"/h), где через

a_i + a_i+1

х’_i = ¯¯2¯¯¯ обозначены середины интервалов,- полигоном частот.

Выборочное среднее:

_v

х¯= Σх’_i p_i "с крышечкой"

_i=1

выборочная дисперсия:

v v v

σ² "с крышечкой"=Σ(х’_i - х¯)²p_i "с крышечкой"=Σ (х’_i)²p_i "с крышечкой"-(Σ х’_ip_i "с крышечкой")^{2 i=1 i=1 i=1}

по выборочной плотности распределения можно построить выборочную функцию распределения. При этом линия, соединяющая точки (х’_i; F_X (х_i)) называется кумулятой.

67. Понятие точечных и интервальных оценок (доверительных интервалов) параметров случайной величины. Определения. Примеры.

Оценки неизвестных параметров бывают двух видов – ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ.  ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА – оценка, имеющая конкретное числовое значение. Например, среднее арифметическое:      X = (x₁+x₂+…+x_n)/n,

     где: X – среднее арифметическое (точечная оценка МО);      x₁,x₂,…x_n – выборочные значения; n – объем выборки.      ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА – оценка представляемая интервалом значений, внутри которого с задаваемой исследователем вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

Интервал в интервальной оценке называется ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ, задаваемая исследователем вероятность называется ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ. В практике статистических вычислений применяются стандартные значения доверительной вероятности: 0,95, 0,98 и 0,99 (95%, 98% и 99% соответственно). Например, интервальная оценка МО (3,8) при доверительной вероятности 0,95. Это означает, что МО лежит в пределах от 3 до 8 с вероятностью 0,95, следовательно вероятность того, что МО меньше 3 или больше 8 не превышает 0,05.      Очевидно, что чем выше доверительная вероятность, тем выше точность оценки, но шире доверительный интервал. Отсюда следует – ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА (ширина доверительного интервала равна 0) СОВПАДЕТ С ЛЮБЫМ ЗАДАННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ИЛИ ОЦЕНИВАЕМЫМ ПАРАМЕТРОМ РАВНА 0.     Таким образом, точечная оценка имеет смысл лишь тогда, когда приведена характеристика рассеяния этой оценки (дисперсия). В противном случае она может служить лишь в качестве исходных данных для построения интервальной оценки.

     Вычисление интервальной оценки рассмотрим на примере интервальной оценки МО для случайной величины подчиняющейся нормальному закону распределения. Границы доверительного интервала определятся по формулам:

X_min = X – T(ν,P)*S/(n)^1/2

 

X_max = X + T(ν,P)*S/(n)^1/2

 

где: X_min, X_max – нижняя и верхняя границы интервала;     X – среднее арифметическое (точечная оценка МО);     n – объем выборки;     T(ν,P) – поправочный коэффициент, называемый T-статистика, величина которого определяется значением задаваемой доверительной вероятности p и числом степеней свободы ν (ν=n-1);

    S = [(x₁ – X)² + (x₂ – X)² + … + (x_n – X)²]^1/2  - корень квадратный из оценки дисперсии случайной величины X