- •2. Исходя из трех аксиом теории вероятностей, докажите, что вероятность любого события а подчиняется неравенству .
- •3. Дайте определение события , противоположного событию а. Докажите, исходя из трех аксиом теории вероятностей, что .
- •5. Если появление события в непременно влечет за собой появление события а, то как в этом случае соподчинены противоположные им события и ?
- •8. Приведите пример какого-либо опыта с конечным числом элементарных исходов, в условиях которого нельзя исчислять вероятности событий по формуле классического определения вероятности.
- •20. Сформулируйте условия, при выполнении которых применяется теорем Байеса. Приведите формулировку и краткое доказательство этой теоремы.
- •21. Функция распределения случайной величины и её свойства
- •22. Функция плотности распределения вероятности и её свойства
- •23. Ряд распределений дискретной случайной величины и его свойство.
- •24. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
- •25. Дисперсия дискретной случайной величины и её свойства. Среднее квадратичное отклонение св.
- •26. Математическое ожидание непрерывной случайной величины и его свойства
- •27. Дисперсия непрерывной случайной величины и её свойства. Среднее квадратическое отклонение св.
- •28. Начальные и центральные моменты случайных величин. Выражение мат.Ожидания и дисперсии св через моменты.
- •30. На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для математического ожидания биномиально распределенной случайной величины.
- •31. На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для дисперсии биномиально распределенной случайной величины.
- •32. Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до n с равной вероятностью. Вывести выражение для математического ожидания этой случайной величины.
- •37. Вывести выражение для дисперсии случайной величины, распределенной по закону Пуассона.
- •38. Вывести выражение для математического ожидания случайной величины, распределенной по геометрическому закону.
- •39. Вывести выражение для дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону.
- •44. Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики.
- •45. Плотность распределения и функция распределения нормальной случайной величины (распределение Гаусса), ее числовые характеристики.
- •46. Функция Лапласа, ее свойства.
- •47. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок, правило «трех сигм».
- •48. Функции случайных величин и их числовые характеристики.
- •49. Числовые характеристики случайных величин, распределенных по равномерному, показательному и нормальному законам (значения мат. Ожидания и дисперсии).
- •50. Дайте определение совместной функции распределения двумерной случайной величины и укажите ее свойства. Обоснуйте эти свойства и/или приведите примеры их выполнения.
- •55. Доказать локальную предельную теорему Муавра-Лапласа.
- •56. Доказать интегральную предельную теорему Муавра-Лапласа.
- •57. Доказать теорему Бернулли о сходимости относительной частоты появления события к вероятности этого события.
- •58. Доказать неравенство Чебышева.
- •65. Понятие гистограммы частот, способ построения, пример.
- •66. Оценка плотности распределения выборки, ее свойства, способ построения.
- •67. Понятие точечных и интервальных оценок (доверительных интервалов) параметров случайной величины. Определения. Примеры.
- •68. Свойства точечных оценок параметров: несмещенность, состоятельность, эффективность (определения).
- •69. Определение и свойства оценок: выборочного среднего, выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии.
- •70.Отличие относительной частоты события от его вероятности по предельной теореме Бернулли (по следствию из теоремы м-л).
- •71. Выборочный коэффициент ковариации (формула).
- •76. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии (вывод).
- •77. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии (вывод).
- •88. Что такое критерий согласия?
- •89. Сформулируйте критерий согласия .
- •90. Модель парной линейной регрессии: уравнение и основные вероятностные допущения.
20. Сформулируйте условия, при выполнении которых применяется теорем Байеса. Приведите формулировку и краткое доказательство этой теоремы.
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В1, В2, В3, … , Вn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса
21. Функция распределения случайной величины и её свойства
Рассмотрим функцию F(х), определенную на всей числовой оси следующим образом: для каждого х значение F(х) равно вероятности того, что дискретная случайная величина примет значение, меньшее х, т. е.
Эта функция называется функцией распределения вероятностей, или кратко, функцией распределения. Также ее называют «интегральной ф-ей распределения». Основные свойства функции распределения. 1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].
2) F(x) – неубывающая функция. при
3) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице. F(x) = 0 при x <=a; F(x) = 1 при x>= b
4) Ф-ия распр. Непрерывна слева.
22. Функция плотности распределения вероятности и её свойства
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x). Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема. Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов. После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины. Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением( может быть, конечного числа точек. Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b. Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше. Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми x=a и x=b. Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле: Свойства плотности распределения.
1) Плотность распределения – неотрицательная функция.
2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ¥ до ¥ равен единице.