43. Методы оптимизации.

Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие Rⁿ и заданные набором равенств и неравенств.

Классификация методов оптимизации

Методы оптимизации классифицируют в соответствии с задачами оптимизации:

Локальные методы: сходятся к какому-нибудь локальному экстремуму целевой функции. В случае унимодальной целевой функции, этот экстремум единственен, и будет глобальным максимумом/минимумом.

Глобальные методы: имеют дело с многоэкстремальными целевыми функциями. При глобальном поиске основной задачей является выявление тенденций глобального поведения целевой функции.

Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы:

детерминированные; случайные (стохастические); комбинированные.

По критерию размерности допустимого множества, методы оптимизации делят на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации.

По виду целевой функции и допустимого множества, задачи оптимизации и методы их решения можно разделить на следующие классы:

Задачи оптимизации, в которых целевая функция f(x) и ограничения g_i(x), i=1,…,m являются линейными функциями, разрешаются так называемыми методами линейного программирования.

В противном случае имеют дело с задачей нелинейного программирования и применяют соответствующие методы. В свою очередь из них выделяют две частные задачи:

если f(x) и g_i(x), i=1,…,m — выпуклые функции, то такую задачу называют задачей выпуклого программирования;

если X ﮯ Z, то имеют дело с задачей целочисленного (дискретного) программирования.

По требованиям к гладкости и наличию у целевой функции частных производных, их также можно разделить на:

прямые методы, требующие только вычислений целевой функции в точках приближений;

методы первого порядка: требуют вычисления первых частных производных функции;

методы второго порядка: требуют вычисления вторых частных производных, то есть гессиана целевой функции.

Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:

аналитические методы (например, метод множителей Лагранжа и условия Каруша-Куна-Таккера); численные методы; графические методы.

44. Основной факторный эксперимент построения матрицы планирования. Полный факторный эксперимент

 Первый этап планирования эксп для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. В этом случае, если число факторов известно, можно сразу найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Простая формула, которая для этого используется:  , где N – число опытов, k– число факторов, 2 – число уровней. В общем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочет-я уровней факт-в, назыв-я полным факторным экспериментом. Если число уров-й каждого фак-а равно 2, то имеем полный факт-й экспе римент типа 2^k.

Нетрудно написать все сочетания уровней в экспе рименте с двумя факторами. Напомним, что в планиро вании эксперимента используются кодированные значения факторов: +1 и –1. Условия эксперимента можно записать в виде таблицы-матрицы план:

№ опыта	x1	x2	y
1	–1	–1	y1
2	+1	–1	y2
3	–1	+1	y3
4	+1	+1	y4

Если для 2 факторов все возможные комбинации уровней легко найти прямым перебором (или просто запомнить), то с ростом числа факторов возникает необходимость в некотором приеме построения матриц. три приема постр:, основанные на переходе от матриц меньшей размерности к матри цам большей размерности.

45. Рассмотрим первый план построения матриц. При добав лении нового фактора каждая комбинация уровней исход ного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Отсюда естественно появляется прием: записать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня. Вот как это выглядит при переходе от экспери мента 2² к 2³:

№ опыта	x1	x2	x3	y
1	–	–	+	y1
2	+	–	+	y2
3	–	+	+	y3
4	+	+	+	y4
5	–	–	–	y5
6	+	–	–	y6
7	–	+	–	y7
8	+	+	–	y8

Этот прием распространяется на построение матриц любой размерности.