Процесс моделирования включает три элемента:

субъект (исследователь), объект исследования, модель, определяющую (отражающую) отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Первый этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обусловливаются тем, что модель отображает (воспроизводит, имитирует) какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимой и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть моделью), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала. Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от исследования других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько «специализированных» моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее «поведении». Конечным результатом этого этапа является множество (совокупность) знаний о модели.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал — формирование множества знаний. Одновременно происходит переход с «языка» модели на «язык» оригинала. Процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели.

Четвертый этап — практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Моделирование — циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта или ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах.

Сейчас трудно указать область человеческой деятельности, где не применялось бы моделирование. Разработаны, например, модели производства автомобилей, выращивания пшеницы, функционирования отдельных органов человека, жизнедеятельности Азовского моря, последствий атомной войны. В перспективе для каждой системы могут быть созданы свои модели, перед реализацией каждого технического или организационного проекта должно проводиться моделирование.

Модель материальн или мысл представл обьект который в проц иссл замещ обьект ориг так что его непоср изуч даёт новые знантя об обьекте оригинале. Моделирование – процесс построения изуч и применения моделей, - это изучение обьекта путём построения и исслед его моделей, осущ с определённой целью и состоит в замене эксперимента с оригиналом экспериментом на модели Оптимальные решения – это решения которые по своим признакам превосх над другими

Виды моделирования

В силу многозначности понятия «модель» в науке и технике не существует единой классификации видов моделирования: классификацию можно проводить по характеру моделей, по характеру моделируемых объектов, по сферам приложения моделирования (в технике, физических науках, кибернетике и т. д.). Например, можно выделить следующие виды моделирования:

Информац-ое , Компьютерное Матем-ое Математико-картографическое Молекулярное Цифровое Логическое Педагогическое Психологическое Статистическое Структурное Физическое Экономико-математическое Имитационное Эволюционное Историческое Нечеткое Модельное

Статистическое модели́рование — исследование объектов познания на их статистических моделях; моделирование ситуаций с использованием статистических закономерностей, присущих рассматриваемому явлению. Оценка парам-ов таких моделей производится с помощью статистическиx методов. Напр: метод максимального правдоподобия, метод наим-х квадратов, метод моментов .

Статистическое моделирование — базовый метод моделирования, заключающийся в том, что модель испытывается множеством случайных сигналов с заданной плотностью вероятности. Целью является статистическое определение выходных результатов. В основе статистического моделирования лежит метод Монте-Карло. Напомним, что имитацию используют тогда, когда другие методы применить невозможно.

Задачи модел делятся на две категории: прямые и обратные.

Прямые отв-т на вопрос, что будет, если при заданных усл-х мы выберем какое-то решение из множества допустимых решений. В частности, чему будет равен, при выбранном реш-и критерий эффектив-и.

Обратные задачи  на вопрос: как выбрать решение из множества допустимых решений, чтобы критерий эффективности обращался в максимум или минимум. Если число допустимых вариантов реш-я невелико, то можно вычислить критерий эффектности для каждого, сравнить , указать один или неск-о оптимальных вариантов-"простым перебором". Когда число допустимых вариантов решения велико, - "направленного" перебора, - оптимальное решение находится рядом последовательных попыток или приближений, из к-х каждое последующие приближает нас к искомому оптимальному.

Модели принятия оптим-х решений отл-я универсальностью. Классиф как задачи минимизации (максимизации) критерия эффективности, компоненты которого удовлетв-ют системе огран-ий - неравенств.

дел на: прин-е реш-й в усл-х определенности–исх данные- детермин-ые; прин-е реш-й в усл-х неопред-и – исх. данные –случ-е вел-ы.

по критерию эффективности:1.одноцелевое принятие решений (1 критерий эффективности); 2.многоцелевое (неск-о критериев).

В общем виде обратная детерминированная задача выглядеть: При заданном комплексе ограничений найти такое оптимальное решение, принадлежащее множеству допустимых решений, которое обращает критерий эффективности в максимум (минимум).

Метод поиска экстремума и опт-о решения должен всегда исходить из особенности критерия эффект и вида ограничений. Очень часто задачи содержат - неизвестные факторы. Тогда обратную задачу можно сформулировать:При заданном комплексе огранич, с учетом неизв-х факт-в, найти такое оптим-е реш-е, принадл-ее мн-ву допуст-х реш-й, кот-е, по возможности, обеспеч-ет макс- (мин-) зн-е критерия эфф.

стохастическую (вероятностную) неопределенность, когда неизвестные факторы статистически устойчивы и поэтому представляют собой обычные объекты теории вероятностей - случайные величины. При этом должны быть известны или определены при постановке задачи все необходимые статистич-е характ-и (законы распред-я и их параметры).

Пример:Организ-я система профилактич-о и аварийного ремонта техн-х устройств с целью уменьш-ия простоя техники за счет неисправностей и ремонтов. Отказы техники, длительность ремонта и профилактик носят случайный хар-р. Характ-и всех случайных фак-ов могут быть получены, если собрать соответств-ую статистику.

Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием. Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предпр-я и др факторы.

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наиб или наим зн-я некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов ф-ии ), которые удовлетворяют системе ограничений, называется допустимым планом задачи линейного программирования. Функция , максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции , называется оптимальным планом задачи.

Графический метод решения задач лин прогр

этапы:1. Сост-е модели линейного программ-я, включающей систему линейных равенств или неравенств и целевую функцию.2. Нахождение оптимального плана задачи. 3. Анализ полученных результатов.

Алгоритм графического метода решения задач ЛП:

1.Построить область допустимых решений.

2.Если область допустимых решений является пустым множеством, то задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.

3. Если область допустимых решений является непустым множеством, построить нормаль линий уровня n = (c1 ,c2 ) и одну из линий уровня, имеющую общие точки с этой областью.

4. Линию уровня переместить до опорной прямой в задаче на максимум в направлении нормали, в задаче на минимум- в противоп-м направлении.

5. Если при перемещении линии уровня по области допустимых решений в направлении, соответствующем приближению к экстремуму целевой функции, линия уровня уходит в бесконечность, то задача не имеет решения в виду неограниченности целевой функции.

6. Если задача имеет оптим реш-е, то для его нахождения решить совместно Ур-я прямых, ограничив-х область допустимых реш-й и им-х общие точки c соответств-й опорной прямой. Если целевая фу-я задачи достигает экстремума в двух угловых точках, то задача имеет бесконечное множество реш-й. Оптимальным реш-м явл-я любая выпуклая линейная комбинация этих точек. После нахождения оптимальных решений вычислить значение целевой функции на этих решениях.

Задача линейного прогр формулир:

Требуется при данных ресурсах выпустить такую комбинацию продукции П1 и П2, при которой доход предприятия оказался бы максимальным-И- требуется найти такое неотриц-е решение сист-ы лин-х неравенств,при кот-м линейная фу-я принимает наиб-е значение (максим).

Пример задачи ЛП

Зав д выпускает изделия из газобетона и газозолобетон (кремнезёмистый компонент – зол-унос ТЭЦ) на смешанном вяжущем – цементе+ известь. Ресурсы цемента, алюминиевой пудры и золы ограничены. Определить оптимальные объёмы производства каждого вида продукции, но так, чтобы общий объём выпуска изделий был наибольшим. Выявить узкие места в производстве и внести обоснованные и наиболее рациональные предложения по их устранению.

х1, х2 – газо газозоло, огр вресурсах каждого 90000000 280000

Составляем модель линейного программирования.

При условии X10 и X20.

Симплекс метод.

Этот метод является универсальным. Система ограничений здесь – система линейных уравнений, в которых количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. К такому виду можно привести любую совместную систему, например метод Гаусса. Первые r неизвестных не всегда можно выразить через остальные. Однако такие r неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные (переменные) называют базисными, остальные переменные – свободными. Особые решения, которые получаются, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называют базисными. Базисное решение называется допустимым базисным решением, или опорным решением, если в нём значения переменных неотрицательны.

Транспортная задача

возникает тогда, когда речь идет о рациональной перевозке одного продукта или сырья от производителей к потребителям.

Транспортная задача считается закрытой (замкнутой),если:

а) все запасы должны быть вывезены;

б) все потребности должны быть удовлетворены;

в) суммарные запасы равны суммарным потребностям.

Общая стоимость перевозок выч-я по формуле:

Для отыскания первого базисного решения (опорного плана) закрытой транспортной задачи существуют следующие способы:

1. метод «северо-западного» угла;

2. метод наименьшей стоимости («минимального элемента»);

3. распределительный метод;

4. симплекс-метод;

5. метод потенциалов.

Решение транспортной задачи методом потенциалов

Методами СЗУ и наим ст-и находится первое базисное реш-е. Для целевой фу-и оптим-е решение задачи сводится к выражению базисных неизв-х ч/з свободные неизвестные.

Т о, после отыскания первого базисного реш-я все неизвестные задачи оказываются разбитыми на две группы:

l)Xkl -базисные;

2) Xpg - свободные.

Целевую функцию можно представить в виде: Для определения коэфф при свободных неизвх используют метод потенциалов. В методе потенциалов каждому пункту отправления приписывают некоторую величину (потенциал) _I (j=1,m), и каждому пункту назначения- величину (потенциал) _I (j=1,n), т.е. для каждой базисной неизвестной стоимости перевозки разбивают на потенциалы:

Поскольку совокупность всех базисных неизвестных (с потенциалами ) образуют систему m+n-1 линейных уравнений с числом m+n неизвестных , то система в таком виде неразрешима. Для решения системы одному из неизвестных (потенциалов), оказавшимся свободным, приписывают любое числовое значение, чаще всего «0», и предварительно переходят к косвенным стоимостям С_pg. Тогда коэффициенты при свободных неизвестных будут равны

.

1. Если величины неотриц-ы, то исходное базисное реш-е будет опт-м, или если для любой не базисиой клетки матрицы перевозок (p,g) выполнимо нерав-о: ,то допустимое базисное реш-е оптимально.

2. Если среди них находятся отриц-е величины, то следует перех-ь к след-у шагу, оставляя другие свободные неизв-е, равные нулю до тех пор, пока одна из базисных неизв-х, не обратится в нуль. Переходом к новому базису завершается один шаг симплекс-метода.

Пример трансп зад

Исходная таблица:

Поставщик	Потребитель			Запасы груза
	B1	B2	B3
A1	3 0	2 0	1 0	10
A2	2 0	1 0	4 0	20
A3	4 0	3 0	2 0	50
A4	2 0	3 0	1 0	30
Потребность	40	30	40

Транспортная задача имеет закрытый тип, так как суммарный запас груза равен суммарным потребностям. Находим опорный план по правилу северо-западного угла: Введем некоторые обозначения: A_i^* - излишек нераспределенного груза от поставщика A_i B_j^* - недостача в поставке груза потребителю B_j

Помещаем в клетку (1,1) меньшее из чисел A₁^*=10 и B₁^*=40 Т к запасы пост-ка A₁ исчерпаны, то строка 1 в дальнейшем в расчет не принимается и т д….

Поставщик	Потребитель			Запасы груза
	B1	B2	B3
A1	3 10	2	1	10
A2	2 20	1	4	20
A3	4 10	3 30	2 10	50
A4	2	3	1 30	30
Потребность	40	30	40

Целевая функция Z= =250

Решаем задачу методом потенциалов: Примем некоторые обозначения: i - индекс строки; j - индекс столбца; m - количество поставщиков; n - количество потребителей.

Этап 1

Полагая потенциал U₁=0, опред-м остальные пот-ы из соотн-я U_i+V_j=C_i,j (i=1..m, j=1..n), просматривая все занятые клетки. Потенциалы U_i: U₁=0 V₁=C_1,1-U₁= 3 U₂=C_2,1-V₁=-1 U₃=C_3,1-V₁=1 V₂=C_3,2-U₃= 2 V₃=C_3,3-U₃= 1 U₄=C_4,3-V₃=0 Определяем значения оценок S_i,j=C_i,j-(U_i+V_j) для всех свободных клеток: S_1,2 = c_1,2 - (u₁ + v₂) = 0. S_1,3 = c_1,3 - (u₁ + v₃) = 0. S_2,2 = c_2,2 - (u₂ + v₂) = 0. S_2,3 = c_2,3 - (u₂ + v₃) = 4. S_4,1 = c_4,1 - (u₄ + v₁) = -1. S_4,2 = c_4,2 - (u₄ + v₂) = 1.

Задача нелинейного программирования, это если ограничения или целевая функция содержат нелинейные функции и X является подмножеством конечномерного векторного пространства.

Расчёт коэффициентов уравнений регрессии

Для квадратичных зав-ей:

Свободный член b1 вычисляем: ;

Коэфф-ы для лин-х членов определяем: ;

Коэфф-ы для квадр-х членов -:

Коэфф- при вза-х определяем:

Для линейных и не полных квадратичных зависимостей:

B1=сумма ( у_u ) / N1 , у_u- эксперимент знач выходного парам( при повторении средн значение) _, N1- число точек плана

Коэфф для линх членов определяем:B1=сумма ( у_u * x_iu) / N1

Коэфф парных взаимодействияй: B1=сумма ( у_u * x_iu * x_ju) / N1

Оценка значимости коэфф регрессии

Дисперсию воспроизводимости определяют по формуле:

, где n0=4-число нулевых точек.

Среднеквадратичную ошибку рассчитываем: ;;;;

Расчетные значения tp критерия Стьюдента определяем: ; Коэф считают значимыми если расч зн-е Крит Стьюдента больше значения определ по таблице

Оценка адекватности

Определяем дисперсию адекватности по формуле:

;

где N – число точек плана, m – число значимых коэффициентов,

- расчетное число выходного параметра.

Находим значение критерия Фишера F = дисп воспр/дисп адекв

Табличн знач Фишера находят по табл в зав от принятой доверительной вероятности и числа степеней свободы, которое для линейных и неполных уравн опред : f=N1-m, А для полных квадратичных при отсутствии или наличии нулевых точек соотв: f=N-m

И f = N - m – ( n₀ - 1), если расчётное знач критерия Фишера меньше теоретич, то уравн адекватное.

Т.к. каждый опыт несет в себе какую-то ошибку, для уменьшения её проводят повторение опытов при тех же условиях, т.е. в каждой строке таблицы планирования построчно

Оценка дисперсии воспроизводимости

Дисперсию воспроизводимости определяют по формуле:

, где n0=4-число нулевых точек.

, r – число повторных опытов

После вычисления дисперсий, их однородность оценивают с помощью критерия Кохрана

Вычисленное сравнивают с табл. Гипотеза об однородности дисперсий прим-ся в том случае, когда эксперимен-ое зн-ие g не превышает табличное.Расчет дисперсий параметров оптимизации коэф-тов регрессии. Если дисперсии парал-х опытов однородны, то вычисляется дисперсия параметра воспроизводимости Если параллельные опыты отсутствуют

1 Основные понятия: модель, моделирование

Моделирование в научных исследованиях применяют с глубокой древности

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Под «моделью» понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который замещает объект – оригинал так, что его непосредственное изучение дает новое знание об объекте – оригинале.

Моделирование – процесс построения, изучения и применения моделей.

Моделирование – изучение объектов путем построения и исследования его моделей осуществляемое с определенной целью и состоит в замене эксперимента с оригиналом экспериментом на модели.

Модель строится так, чтобы полностью воспроизвести те качества объекта, которые необходимо изучить в соответствии с целью наиболее полно. Модель должна быть проще, удобнее. Для объекта можно создать различные модели.

Необходимое условие моделирования – подобие объекта и его модели.

Операция - - всякое мероприятие, система действий, объединенных единым замыслом и направлением к достижению какой-либо цели. Операция всегда управляема мероприятием.

Всякий определенный набор зависящих от нас параметров называется решением.

Оптимальные решения под тем или иным признаком предпочтительнее перед другими. Мы можем выделять область оптимальных решений, а потом уже делать выбор.

Параметры, совокупность которых образуют решения называются элементами решения (разл числа, векторы, функции, признаки и т.д.)

6 В чем отличие прямых и обратных задач

Задачи моделирования:

- прямые

- обратные

Прямые отвечают на вопрос что будет, если при заданных условиях мы выбираем какое-то решение из множества допустимых решений. В частности чему будет равен при выбранном решении критерий эффективности.

Обратные отвечают на вопрос: как выбрать решение из множества допустимых решений, что бы критерий эффективности обращался в макс или в мин. если число допустимых вариантов решений невелико, то можно вычислить критерий эффективности для каждого из них, сравнить между собой полученные значения, непосредственно указать один или несколько оптимальных вариантов. Такой способ нахождения оптимального решения называется простым перебором. Однако,когда число допустимых вариантов решения невелико, то поиск оптимального решения простым перебором затруднителен, а часто невозможен.

В этих случаях применяются методы направленного перебора, обладающие той особенностью, что оптимальное решение находится рядом последовательных попыток или приближений, из которых каждое последующее приближает нас к искомому оптимально.

4в чем преимущество статистических моделей

Статистические модели предполагают проведение нескольких серий измерений, позволяющих статистическими методами контролировать и анализировать влияние посторонних факторов. Иными словами, несколько одинаковых экспериментов проводится одновременно. Таким образом, на результаты, полученные в рамках статистического моделирования, влияют те же самые факторы недостоверности, что и на результаты, полученные в рамках базовых моделей. Статистические модели имеют следующие преимущества.

-Можно измерить влияние более чем одного независимого фактора.

-Конкретные посторонние факторы поддаются статистическому контролю.

-Экономически значимые выводы можно сделать при условии, что проводится более чем одно измерение каждой единицы.