29. Определения ранга матрицы

Ранг матрицы – наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

30. Система линейных уравнений. Определение совместной, не совместной системы

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида (1)

Здесь x₁, x₂ …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a¹¹, a¹², …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких, что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:c₁⁽¹⁾ = c₁⁽²⁾, c₂⁽¹⁾ = c₂⁽²⁾, …, c_n⁽¹⁾ = c_n^(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или, согласно правилу перемножения матриц,

Ax = B.

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то А называется расширенной матрицей.

Методы решения

Прямые (или точные) методы, позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Прямые методы

• Метод Гаусса

• Метод Гаусса — Жордана

• Метод Крамера

• Матричный метод

• Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)

• Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)

Итерационные методы

• Метод Якоби (метод простой итерации)

• Метод Гаусса — Зейделя

• Метод релаксации

• Многосеточный метод

31) Матричный способ решения систем линейных уравнений.

Матричный метод решения систем линейных уравнений. Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка. Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .Систему уравнений можно записать:A×X = B.Сделаем следующее преобразование: A^-1×A×X = A^-1×B, т.к. А^-1×А = Е, то Е×Х = А^-1×В Х = А^-1×В