8. Матрицы основные определения.
Прямоугольной матрицей(m≠n) размера m×n называется совокупность m, n чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов. a(i,j) –элемент матрицы (i-номер строки, j- номер столбца). A = B, если их число строк и столбцов равны и элементы так же равны. Если число строк равно число столбцов, то матрица – квадратная и обозначается А(n). Главная диагональ матрицы (слева на право) – элементы у которых номер столбца равен номеру строки. Побочная диагональ (с права на лево). Квадратная матрица называется диагональной, если все не диагональные элементы равны 0. Если у диагональной матрицы все диагональные элементы равны 1, то такая матрица называется единичной и обозначается буквой E. Треугольная матрица – элементы выше или ниже диагонали равны 0. Матрица все элементы которой равны 0, то она называется нулевой. Матрица из одной строки – строчная матрица, из одного столбца – столбцевая матрица. Ат - транспонированная матрица(поменять индексы местами)
Amn
=
9. Линейные операции над матрицами.
1) Умножение матрицы на число. B=λA, элементы которой b(i,j)=λa(i,j). Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. 2) Сложение и вычитание матриц. Эту операцию можно проводить только над матрицами одинакового размера.C=A+B.
10. Умножение матриц.
Только когда число столбцов первой матрицы равна число строк второй. C(m×n), каждый элемент которой равен сумме произведений элементов строки первой матрицы на элементы столбца второй матрицы. . Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Свойства:
1) АВ≠ВА;
2) (АВ)С=А(ВС)=АВС – ассоциативность (сочетательное свойство);
3) А(В+С)=АВ+АС или (А+В)С=АС+ВС – дистрибутивность (распределительное свойство);
4) λ(АВ)=(λА)В=А(λВ), где λ - заданное число.
11. Ранг матрицы.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы rang A=r(A). Минор порядка S – это минор стоящий на пересечении любых S строк и S столбцов. Ранг матрицы заключен в 1<=r(A)<=min(m,n). r(A)=0 только когда матрица нулевая. При нахождении ранга можно пользоваться свойствами определителей. Рангом матрицы по строкам называется число линейно не зависимых строк матрицы. Рангом матрицы по столбцам называется число линейно не зависимых столбцов матрицы. Для любой матрицы ранг строки равен рангу столбца. Обозначается r(A). Ранг матрицы равен 0, только когда все элементы матрицы равны 0. Для квадратной матрицы n – ого порядка r(A) = n тогда, когда матрица А – неособенная.
12. Определители второго и третьего порядка.
Определитель
матрицы обозначается |A|
или
Определитель первого порядка - |А| = а(11)
Определитель матрицы второго порядка – матрица 2 на 2, вычисляется по формуле: а(11)а(22) – а(12)а(21). Определитель матрицы третьего порядка – матрица 3 на 3, вычисляется по правилу треугольника.
13. Определитель n – ого порядка.
Называется сумма произведений элементов первой строки на их алгебраическое дополнение. Называется сумма произведений элементов квадратной матрицы, стоящих в разных строках и разных столбцах, так, что первые индексы произведений упорядочены. Сигма – число инверсий с перестановкой. обозначается – с