14. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.
Алгебраическое дополнение Aij элемента aij это минор Mij, взятый со знаком (1)i+j, то есть Aij = (1)i+jMij
Минор Mij элемента aij - это определитель, который получается из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент aij. Базисным минором матрицы называется отличный от нуля минор порядок которого равен рангу этой матрицы. Например,
if
=
M11
=
,
то есть М11
=
;
М12 =
,…,
15.Свойства определителей.
Определитель – это число, которое является характеристикой данной квадратной матрицы. Определители существуют только для квадратных матриц.
Если какая либо строка(столбец) матрицы состоит из одних 0, то ее определитель равен 0
Если все элементы какой либо строки столбца матрицы умножить на число, то ее опредилитель умножится на это число. за знак определения можно выносить общий множитель любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь этих элементов.
При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:
При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположенный
Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.
Сумма произведений какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы = 0
Определить матрицы не изменится, если к элементам какой либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно * на одно и то же число.
определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей : |AB|=|BA|=|A|*|B|
Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
Доказательство. По свойству 4 вынесем общий множитель = 0 элементов нулевой строки (столбца) за знак определителя. Получим 0 = 0.
Определитель с двумя и более пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
Доказательство. Если вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности двух строк (столбцов) ≠0, то получится определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равный нулю по свойству 3.
16. Обратная матрица и её вычисление.
Матрица А в -1 степени называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица (Е). Обратная матрица является квадратной того же порядка, если |А| не равен нулю, то матрица называется неособенной (невырожденной). Теорема: всякая неособенная матрица имеет обратную, причём эта обратная матрица единственная.
Квадратная матрица А1 называется обратной (инверсной) к квадратной матрице А, если выполняется условие. А1А = АА1= Е
Вычисление: 1. Находим определитель, если не равен 0, то решаем дальше. 2. Находим алгебраические дополнения и составляем из них транспортированную матрицу А в степени т. 3. Вычисляем по формуле А в степени -1 = 1\|А|×на полученную матрицу.