- •1.Декартова система координат (квадратная) и полярная система.
- •2. Понятие геометрического вектора. Основные определения.
- •3. Линейные операции над векторами
- •4. Деление отрезка в заданном отношении
- •5. Понятие о радиус-вектора
- •6. Действие с геометрическими векторами в координатной форме. Признак коллениарности.
- •7. Скалярное произведение геометрических векторов. Признаки ортогональности
- •8. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты, длина вектора, расстояние между двумя точками, вычисление косинуса угла между двумя векторами.
- •16)Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
- •17) Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
- •18) Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
- •19) Угол между прямой и плоскостью
- •20) Окружность
- •24. Матрица и основные определения связанные с ней.
- •25. Действия с матрицами
- •26. Определения определителя и его свойства.
- •27. Определения минора и алгебраического дополнения
- •28. Обратная матрица.
- •29. Определения ранга матрицы
- •30. Система линейных уравнений. Определение совместной, не совместной системы
- •31) Матричный способ решения систем линейных уравнений.
- •32) Формулы Крамера.
- •33) Теорема Кронекера-Капелли.
- •34) Условия определенности и неопределенности систем линейных уравнений.
- •35) Метод Гаусса.
- •36) Теорема о совместности однородной системы линейных уравнений.
- •3 7) Теорема о существовании ненулевых решений однородных систем линейных уравнений.
- •38)Линейное векторное пространство.
- •39.1.Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними
- •40. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.
- •41. Система векторов линейного пространства l образует базис в l если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из l линейно выражается через векторы системы.
- •42. Теорема. (о разложении вектора по базису.)
- •43. Подпространство
- •44. Собственные числа и собственные вектора
- •45. Характеристическим уравнением матрицы
16)Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:
Кроме того, для точки М1 можно записать:
Решая совместно эти уравнения, получим:
Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
17) Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.
18) Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.
19) Угол между прямой и плоскостью
Определение. Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Пусть плоскость задана уравнением N*r+D=0 а прямая - . Из геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол a = 900 - j, где a - угол между векторами и . Этот угол может быть найден по формуле:
В координатной форме:
20) Окружность
Начнем с определения окружности, известного из школьного курса математики.
Определение 12.2 Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.
Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.
Теорема 12.1 Окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение
Доказательство. Пусть -- текущая точка окружности. По определению окружности расстояние равно (рис. 12.1)
Рис.12.1.Окружность
По формуле (10.4) для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению
Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение (12.2).
Если в уравнении (12.2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (12.2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным и
24. Матрица и основные определения связанные с ней.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк или n столбцов одинаковой длины.
Квадратная матрица – это матрица, у которой число строк и столбцов равно. Матрица, у которой количество строк и столбцов не равно называется прямоугольной.
Квадратная матрица называется Треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
Диагональная матрица – это матрица, у которой все элементы кроме главной диагонали равны нулю.
Единичная матрица – это диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен 1.
Нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы равны 0.
Транспонированная матрица – это матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером.
Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица.
Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю