39.1.Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

2. Нера́венство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением.

Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть - норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем

.

3. Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

 

40. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.

Составим линейную комбинацию:

, если система n векторов – линейно-зависима.

Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов

является линейно-зависимой.

Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов

будет тоже линейно-независимой.

41. Система векторов линейного пространства l образует базис в l если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из l линейно выражается через векторы системы.

Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов e₁, ..., e_n образует базис в L если любой вектор x из L может быть представлен в виде

x = С₁·e₁+С₂·e₂+ ...+С_n· e_n.

Пример: Система векторов ·i, j + k , i − j − k линейного пространства R₃ геометрических радиусов векторов трехиерного пространства линейно зависима.

Вектор i − j − k линейно выражается через векторы i и j + k: i − j − k = i − (j + k).

42. Теорема. (о разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом. т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно

Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора  по базису  векторного пространства :  и . Получаем равенство

, откуда следует . Если , то , а т.к. , то  и коэффициенты разложения равны: , . Пусть теперь . Тогда , где . По теореме о коллинеарности двух векторов отсюда следует, что . Получили противоречие условию теоремы. Следовательно,  и , ч.т.д.

43. Подпространство

Множество M векторов линейного пространства L, такое, что для любых и из M и любого числа  справедливо , назвается линейным подпространством линейного пространства L.

Пример. Множество M арифметических векторов из Rⁿ, у которых последние компоненты — нулевые, образует линейное подпространство в Rⁿ:

44. Собственные числа и собственные вектора

Пусть – квадратная матрица порядка и .

Число называется собственным значением матрицы , если существует ненулевой вектор , такой что выполнено равенство

(1)

Вектор , удовлетворяющий (1) называется собственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению  .

Справедливы следующие свойства.

1. Собственному вектору матрицы соответствует единственное собственное значение.

Действительно, если – два собственных значения вектора , то и , откуда или , значит , что противоречит определению. Значит .

2. Если собственный вектор матрицы , удовлетворяющий собственному значению , и – произвольное действительное число, то - так же собственный вектор с собственным значением .

Действительно, умножим обе части равенства на , получим или , следовательно, ненулевой вектор , удовлетворяет определению и поэтому является собственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .

3. Если и линейно независимые собственные векторы матрицы с одним и тем же собственным значением , то + – собственный вектор с собственным значением .

Действительно, в силу линейной независимости и , причём , что согласно определению и означает, что вектор – собственный, отвечающий собственному значению .

4. Собственные векторы матрицы , соответствующие попарно различным собственным значениям являются линейно независимыми.

Докажем свойство для . Пусть и , . Предположим, что и - линейно зависимы, следовательно, существует линейная комбинация причём хотя бы один из коэффициентов и ненулевой. Пусть , тогда где . Значит, согласно свойству 2 вектор является собственным вектором матрицы , отвечающим собственному значению . Из единственности собственного значения для вектора следует, что . Значит, векторы и линейно независимы.

Вернёмся теперь к равенству (1) и преобразуем его.

получим

(2)

В развёрнутом виде (2) есть однородная система уравнений с неизвестными. Такая система согласно следствию 2 из §15 имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, то есть

(3)

Левая часть (3) есть многочлен степени по . Он называется характеристическим многочленом матрицы . Уравнение (3) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристические числа или собственные значения матрицы . Совокупность всех собственных значений матрицы с учётом их кратности (как корней характеристического уравнения) называется спектром матрицы .