11.Требования к системе упражнений, направленной на отработку правила (алгоритма).

Осознание алгоритма, правила возможно лишь в том случае, если ученикам предложена определенная система упражнений. Чтобы упражнения были системой, они должны удовлетворять определенным требованиям.

Принцип полноты. Система упражнений удовлетворяет принципу полноты, если она содержит все виды заданий на данное правило, включая и особенные случаи.

Принцип однотипности. На каждый вид задания должно быть не одно упражнение. Однотипные упражнения особенно необходимы для слабых учеников и в меньшей мере для сильных. Однако последовательное выполнения однотипных упражнений приводит к снижению активности мыслительной деятельности учащихся, так как при решении лишь первого примера они опираются на соответствующее правило. Поэтому нужно применять и другие принципы, в частности, принципы контрпримеров и сравнения.

Принцип контрпримеров. Контрпример – это любая задача, которая провоцирует учащихся на ошибку. Соблюдение этого принципа ведет к воспитанию положительной мотивации и вместе с тем способствует углубленному пониманию правила.

Принцип сравнения. Применение этого принципа предполагает включение некоторого ряда взаимосвязанных упражнений, когда хотят подчеркнуть их сходство или различие, в частности, упражнения на прямые и обратные операции.

Принцип непрерывного повторения. Система упражнений содержит задачи из предшествующих разделов. Цель их включения: во-первых, осуществлять систематическое повторение изученных действий, особенно тех, при выполнении которых учащимися допускаются ошибки, во-вторых, устранять отрицательное влияние однотипности упражнений (ослабление внимания, снижение интереса)

Принцип вариативности. Этот принцип реализуется двояко: с одной стороны, видоизменение формы выдачи заданий, с другой – разнообразие числовых и буквенных компонентов алгебраических выражений, а в упражнениях по геометрии – варьирование рисунков и обозначений.

Принцип единственного различия. Сущность этого принципа заключается в сохранении всех элементов формы упражнений при переходе от одного упражнения к другому, кроме одного.

Опираясь на вышеуказанные принципы, учитель отбирает упражнения на осознание, осмысление того или иного правила. Теперь встает проблема их упорядочивания.

Очевидно, надо исходить из принципа от простого к сложному.

Еще одним важным принципом для определения последовательности упражнений служит принцип цикличности. Этот принцип состоит в разбиении упражнений по циклам. Проводится это на первых двух уроках.

Первый цикл предполагает упражнения дидактического характера. Этот принцип удовлетворяет принципам полноты и контрпримера. Принцип вариативности реализуется через принцип полноты.

Второй цикл: упражнения усложняются, и реализуется вся система упражнений.

Третий цикл: упражнения из первого и второго циклов и другие

Четвертый цикл:

12.Роль и функции задач в обучении математике. Ключевая задача. Методика работы с ключевой задачей.

Понятие «задача» является одним из основных понятий в любой дисциплине. В методике математики проблемой содержания понятия «задача», проблемой обучения решению задач занимались известные методисты В. В. Репьев, Г. А. Саранцев, Л. М. Фридман...

Под задачей будем понимать задание, которое должен выполнить субъект, или вопрос, на который он должен найти ответ, опираясь на указанные условия и все вытекающие из них следствия.

Т. о., в любой задаче есть условие, т. е. исходные данные, заключение, т. е. требования, которые нужно выполнить, и субъект, которые эти требования выполняет.

Роль задач в матем-ке огромна. Задача является средством и целью изучения матем-ки. Общая цель обучения матем-ке – развитие и саморазвитие личности средствами матем-ки. Развитие происходит в процессе усвоения определенного гуманитарно-ориентированного содержания. Какое же содержание должны усваивать школьники через решение задач? Тоже, что и при изучении теоретического материала, а именно, информационный компонент, методы математической деятельности, развивать культуру мышления, понимать связь матем-ки с действительностью.

С понятием «задача» связаны два процесса, два вида деятельности: процесс решения и составления задачи. Эти два процесса взаимно обратные. Они характеризуются противоположными ходами мысли. Процесс решения задачи есть последовательность элементарных действий, последовательность решения одношаговых задач. Решение задачи – это анализ, расчленение целого на части. Составление задачи есть синтез, объединение разрозненных частей в единое целое.

В методической литературе встречаются разделения задач на виды по различным основаниям. Опыт показывает, что наиболее приемлемым является выделение следующих видов задач:

• по характеру требования: на вычисление или нахождение; на док-во или объяснение; на построение или преобразование;

• по отношению к способу решения: стандартные и нестандартные;

• по характеру объектов: математические и реальные (или с практическим содержанием).

Такое разделение, как и никакое другое, не является классификацией.

Математические задачи, для решения которых в школьном курсе матем-ки имеются готовые правила (в любой форме) или они непосредственно следуют из каких-либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов, принято наз. стандартными. Нестандартные задачи – это такие задачи, для которых в курсе матем-ки не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.

На любом этапе усвоения дидактической единицы мы предлагаем соответствующую систему упражнений (задач). Дальнейшее усвоение понятий, теорем, правил происходит только через решение задач. Поэтому учителю важно знать функции задач в обучении:

1. Задачи с дидактическими функциями – задачи на прямое применение изучаемой теории, на закрепление основных понятий, формул, теорем. первый

Это упражнения на рефлексивно-оценочном этапе, когда идет урок изучения нового.

2. Задачи с познавательными функциями ориентированы на усвоение основного содержания школьного курса матем-ки, способствуют углублению знаний, знакомят с важными теоретическими сведениями и методами решения задач. Второй цикл задач на формулу разности квадратов.

3. Задачи с развивающими функциями. Их содержание может отходить от основного курса, усложнять некоторые из ранее изученных вопросов школьной программы. Пример. Задачи на построение сечений, на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Такие задачи носят творческий характер.

4. Задачи с прикладными функциями. Через решение этих задач осуществляется приложение математической теории к практике.

Такое деление задач условно, т. к. любая задача в разных ситуациях и для разных учащихся может выполнять различные функции.

Познавательные и дидактические задачи невысокого уровня должны уметь решать все учащиеся, а развивающие задачи должны уметь решать ученики, претендующие на оценку «отлично».

Ключевая задача.

Понятие ключевой задачи ввел Г. Г. Хазанкин. Вообще в качестве основных дидактических единиц принято определять теоремы, правила, определения понятий, с которыми учитель работает по определенной технологии. С задачами такой работы практически не проводится.

К дидактическим единицам будем относить и задачи, результат решения которых должен быть усвоен всеми учащимися. В методической литературе такие задачи наз. ключевыми.

Ключевая задача – это самостоятельная дидактическая единица, предметом усвоения которой является либо результат, либо идея решения (новый метод, прием, способ), либо и то и другое вместе.

Будем различать задачи – факты и задачи – методы. Если в результате решения задачи устанавливается новый факт, формула, свойство или признак какого-либо понятия или отношения, то имеем задачу – теорему. Если в процессе решения задачи обнаруживается новый для учащихся метод, прием, способ, то имеем задачу – метод.

Методика обучения учащихся решению ключевых задач состоит в следующем.

1. Сначала необходимо отобрать ключевые задачи темы. В учебниках математики 5-6 классов, алгебры 7-9, алгебры и начала анализа 10-11 классов такие задачи выделены. На них иллюстрируются все необходимые понятия и алгоритмы. В учебниках геометрии многие задачи – факты приведены среди других задач, но даны с решениями, а задачи – методы никак не выделены, поэтому учителю нужно делать это самому.

2. Надо разработать и реализовать технологию работы с каждой ключевой задачей на уроке. Такие задачи на применение данной теории решаются, как правило, первыми. Поиск решения либо показывает сам учитель, либо он осуществляется в диалоге учитель – ученик, либо в условиях фронтальной работы под руководством учителя, либо в процессе работы в группах, в парах, индивидуально.

3. После решения задачи производится анализ. Если при решении получен новый факт, то его необходимо зафиксировать и сказать: «В дальнейшем будем опираться на этот факт при решении такого типа задач». Если при решении ключевой задачи применялся новый прием или метод, то ему дается название и выделяются действия, которые его составляют.

Технология работы с такой задачей аналогична технологии работы с правилом.

4. Далее предложить учащимся для решения задачи, отобранные в определенной последовательности в результате задачного анализа темы.