5.Математические понятия. Научно-педагогические аспекты определения математических понятий. Методологические знания, которые должны усваивать школьники при изучении определений понятий.
С точки зрения формальной логики, понятие – это мысль, фиксирующая признаки отображаемых в неё предметов и явлений, позволяющих отличить эти предметы и явления от смежных с ними. Понятие имеет две основные характеристики: содержание и объем. Содержание понятия – это множество существенных (характеристических) свойств данного понятия, которые выделяют этот объект из множества других. Например, в содержание понятия «ромб» входит то, что это параллелограмм, его диагонали перпендикулярны, диагонали делят углы ромба пополам, смежные стороны его равна, высоты равны, имеется вписанная окружность…Однако чтобы отличить одно понятие от другого нет необходимости перечислять все его существенные свойства, достаточно указать те из них, каждое из которых является необходимым, а все вместе – достаточными для того, чтобы выделить это понятие из всех других. Для этого вводится определение понятия, в котором дается имя понятию и раскрывается содержание понятия.
Объем понятия – множество всех объектов, обладающих указанным содержанием. Чем шире содержание понятия, тем меньше объем.
Научно-педагогические аспекты определения математических понятий.
Определение понятия – это логическая операция, раскрывающая содержание (смысл) данного понятия. Определение матем. понятия может быть дано различными способами, но чаще всего определение является частым случаем определения через род и видовые отличия. Их структура имеет следующий вид:
,
где B
– класс объектов, состоящих из x,
принадлежащих A
– ближайшему роду, и обладающих свойством
P
– видовым отличием.
Можно указать различные способы задания видовых отличий:
перечислением некоторого набора свойств (биссектриса угла);
конструктивно, указанием способа построения (цилиндрическая поверхность);
индуктивно (арифметическая и геометрическая прогрессии);
через отрицание (скрещивающиеся прямые).
Логическая природа связи видовых отличий: конъюнктивная, дизъюнктивная или смешанная.
Чтобы ученик мог оперировать определением понятия важно, чтобы он осознавал ближайший род, отличия, логическую связь между видовыми отличиями.
Встречаются в матем-ке косвенные определения понятия, когда понятия выступают как первичные (точка, число), а связи между ними описываются системой аксиом. Так вводятся:
основные неопределяемые понятия той или иной дисциплины; в геометрии – это точка, прямая, принадлежать, лежать между;
понятия длины, площади, объема в курсе геометрии.
На ранней ступени изучения матем-ки (начальная школа, 5-6 классы) определения математ. понятиям часто не дают, а пользуются при этом описанием понятия (нестрогие определения) или указанием моделей определяемых понятий.
Существуют определенные требования к определениям математических понятий. Определение должно иметь форму категоричного суждения. Об определении не имеет смысла говорить, истинно оно или ложно. Определение может быть корректным или некорректным в зависимости от того, удовлетворяет ли оно следующим требованиям:
определение должно быть соразмерным, в нем должны быть существенные признаки, необходимые и достаточные для того, чтобы отличить определяемое понятие от всех других понятий;
определение должно быть минимальным, не содержать излишних требований (в школе иногда отходят от этого требования: прямоугольником наз. параллелограмм, у которого все углы прямые);
определение не должно содержать порочного логического круга (тавтологии). Например, прямым углом наз. угол, содержащий 90 ;
при введении с помощью определений системы понятий необходимо избегать омонимии – использования одного и того же термина в разных смыслах;
логическое определение есть формула, у которой нельзя убрать или к которой нельзя добавить ни одного слова, которые искажали бы её смысл;
определение нельзя подменить признаком, в определении должно быть слово «называется».
В соответствии со сказанным учителю важно прогнозировать, какие логические ошибки учащиеся могут допустить при формулировке определения.
Типичные ошибки, которые допускают ученики при работе с определением:
учащиеся опускают слова или добавляют лишние, искажающие смысл (неверно наз. родовое понятие, опускают одно из видовых отличий, меняют логическую связку «и» на «или» и наоборот);
определение подменяют признаком;
в определении нескольких понятий присутствует тавтология и др.
Учителю следует прогнозировать типичные ошибки учащихся в работе с определением, подбирать для их устранения соответствующую систему упражнений.
Методологические знания, которые должны усваивать школьники при изучении определений понятий.
знание генезиса образования понятия;
знание логической структуры определения понятия;
умение осуществлять действия подведения под понятие и выведения следствий;
умение проводить классификацию, систематизацию научных понятий, а также понимать необходимость док-ва существования понятия.