9.Сущность доказательства. Обучение школьников доказательствам.

Доказательство – это логическое действие, в процессе которого устанавливается истинность некоторого суждения путем приведения других суждений, истинность которых уже установлена и из которых с необходимостью вытекает истинность доказываемого.

В доказательстве выделяют три части:

• тезис – это суждение, истинность которого необходимо доказать

• основание – довод или аргумент суждения, истинность которого уже установлена и которое может быть использовано в обосновании истинности или неистинности

• демонстрация – логическое рассуждение, в процессе которого из основания выводится истинность или неистинность тезиса и совокупность правил, использованных в рассуждении.

Если А – это основание, а С – тезис, то гипотезу в общем виде можно сформулировать так: «Если А, то С».

Доказательство истинности следует проводить лишь в том случае, когда между А и С есть логическая связь.

Док-ва по своей структуре делятся на косвенные и прямые.

Док-во, в котором истинность тезиса обосновывается тем, что опровергают истинность суждения, противоречащего тезису, наз. косвенным. К ним относят док-во «от противного», разделительное док-во и док-во по правилу контрапозиции.

Док-во, которое основывается на каком-либо убедительном аргументе, из которого логически выводится истинность тезиса, наз. прямым. Разновидностями прямых доказательств явл-ся синтетическое док-во (синтез), аналитическое док-во (восходящий анализ), аналитико-синтетическое.

Дедуктивное док-во начинается с рассмотрения общего случая.

В традиционной методике обучение док-ву происходит стихийно в процессе заучивания готовых док-в и их воспроизведение. Но уже в 50-60-е гг. прошлого столетия В. В. Репьев говорил о том, что учеников нужно вовлекать в поиск док-ва. Эту позицию поддерживают и разделяют современные методисты, например, Г. И. Саранцев. Для этого необходимо у учащихся формировать определенные знания и умения, обучая их док-ву.

1. Формирование потребности в логических обоснованиях.

Как мы познаем окружающий нас мир? Сначала нам приходиться полагаться на наши органы чувств: зрение, осязание, вкус, обоняние. Чувственное восприятие реального мира много говорит о нем. Но наши органы чувств, во-первых, слишком грубы и порождают иллюзии, а во-вторых, многие явления окружающего мира вообще скрыты от наших органов чувств. На смену чувственным восприятиям приходит интуиция, которая действует за пределами чувственного опыта. Но и интуиция часто приводит к ошибочным выводам. «Что мы можем противопоставить иллюзиям и ошибочной интуиции? Наш самый эффективный ответ состоит в использовании математики», - пишет М. Клайн.

Началам дедуктивного мышления следует обучать учащихся 5-6-х классов путем

1. требования обосновывать свои действия (вычисления, построения) с помощью введенных правил, сформулированных явно определений понятий (биссектриса угла, правильные и неправильные дроби) и их свойств;

2. упражнений, формирующих умение подводить под понятие, выводить следствия, строить силлогизмы;

3. обучения методам обоснования или опровержения рассуждений.

Уже на этом этапе по мере возможности следует учить учеников отличать правдоподобные умозаключения от достоверных.

2. Понимание сущности доказательства.

В 7 классе вводятся понятия «теорема», «док-ва теоремы» в курсе геометрии. Делается это стихийно, без должных объяснений, мимоходом, когда док-ся первый признак равенства треугольников. Целесообразно посвятить отдельный урок в теме «смежные и вертикальные углы» понятиям «теорема», «док-во теоремы». На примере теорем о свойствах смежных и вертикальных углов разъяснить учащимся, что такое теорема, какова её роль, как она «устроена», что такое док-во.

Учитывая, что док-во первого признака равенства треугольников само по себе довольно сложно и то, что школьники пока еще не владеют познавательными средствами, его изучение целесообразно проводить или традиционным объяснительно-иллюстративным методом, или методом проблемного изложения, не вовлекая пока учащихся в самостоятельный поиск.

3. Умение оперировать определениями понятий, формулировками теорем и аксиом, правилами. В его состав входят:

• понимание смысла каждого термина, входящего в формулировку;

• понимание логической структуры определения понятия ;

• умение оперировать определением понятия: подводить под понятие, выводить следствия, переформулировывать определение в частные эвристики;

• умение сравнивать объекты по указанному признаку, выделять существенные основания для их сравнения;

• умение проводить классификацию понятий по заданному и самостоятельно найденному основанию;

• понимание логической структуры теоремы, умение формулировать обратное, противоположное, противоположное обратному утверждения и понимание логической связи между этими четырьмя предложениями;

• умение оперировать формулировкой теоремы, конструировать частные эвристики.

Перечень этих умений входит в состав культуры общения.

4. Понимание сущности доказательства, полноценности аргументации.

5. Владение дедуктивными методами доказательств и опровержений: синтетическим, аналитическим, от противного, методом исчерпывающих проб, полной индукции, контрапозиции, ММИ.

6. Владение эвристической составляющей математической деятельности:

   • умение выявлять закономерности и устанавливать аналогии;

   • умение выдвигать гипотезы на основе аналогии, неполной индукции, обобщения, конкретизации, пространственного воображения, интуиции как для постановки проблем, так и для их решения.

7. Умение отличать достоверные выводы от правдоподобных, вероятностных.

8. Владение математическим языком (матем. терминологией, символикой), умение четко, последовательно, лаконично, логично выражать свои мысли как устно, так и письменно.

9. Умение анализировать представленные док-ва:

   • находить логические проблемы в свернутом доказательстве и проводить его со всеми обоснованиями;

   • находить логическую ошибку в «доказательстве», предложенном учителем, проведенном учащимися, разгадать предложенный софизм и т. д.

10. Умение «схватывать» и выделять идею док-ва, его основные этапы.

11. Умение самостоятельно находить и проводить док-во.