4.Дедуктивные умозаключения. Синтетический метод доказательства. Аналитические методы доказательства.
Дедуктивное умозаключение – это получение из одного или нескольких истинных суждений нового суждения на основе правильного применения логических законов.
Логические законы объективны и не зависят от сознания и воли человека. Они являются результатом соглашения людей, их сила в том, что они представляют собой отображение реального мира и многовекового опыта, его познания и преобразования.
Выделяют три вида дедукт. умозаключений. Рассмотрим их на примерах.
умозаключение от более общего к менее общему или единичному:
В параллелограмме противоположные стороны попарно равны. Прямоугольник является параллелограммом.
В прямоугольнике противоположные стороны попарно равны.
умозаключение от одной общности к той же общности:
Монотонная на всей области определения функция принимает каждое значение только один раз. Периодическая функция принимает каждое свое значение бесконечное множество раз.
Никакая периодическая функция не может быть строго монотонной на всей области определения.
умозаключение от единичного к частному:
Число 78 делится на 13. Число 78 четное.
Некоторые четные числа делятся на 13.
В приведенных примерах каждое заключение получено из двух посылок. Такие умозаключения наз. опосредованными. В опосредованном умозаключении может быть и более двух посылок. Умозаключение, в котором вывод сделан из одной посылки, наз. непосредственным. Пример. Прямые a и b параллельны. Прямые a и b не пересекаются.
Разновидностью дедуктивного умозаключения является силлогизм.
Силлогизм – дедуктивное умозаключение, в котором вывод получают из двух посылок, имеющих общий субъект и предикат. Субъект (M) – это то, о чем что-либо высказывается; предикат (P) – это то, что высказывается о субъекте. С введенными обозначениями суждение имеет вид: «M суть (не суть) P».
Существует много разновидностей силлогизмов. В школьном курсе при доказательстве теорем используется силлогизм следующего строения:
Все М суть Р (большая посылка),
S суть М (меньшая посылка).
Вывод S суть Р.
Пример. Вертикальные углы равны.
Чтобы успешно обучать учеников доказательству, нужно научить их строить силлогизмы.
Доказательство – это логическое действие, в процессе которого устанавливается истинность некоторого суждения путем приведения других суждений, истинность которых уже установлена и из которых с необходимостью вытекает истинность доказываемого.
В доказательстве выделяют три части:
1)тезис – это суждение, истинность которого необходимо доказать
2)основание – довод или аргумент суждения, истинность которого уже остановлена и которое может быть использовано в обосновании истинности или неистинности
3)демонстрация – логическое рассуждение, в процессе которого из основания выводится истинность или неистинность тезиса и совокупность правил, использованных в рассуждении.
Если А – это основание, а С – тезис, то гипотезу в общем виде можно сформулировать так: «Если А, то С».
Доказательство истинности следует проводить лишь в том случае, когда между А и С есть логическая связь.
Док-ва по своей структуре делятся на косвенные и прямые.
Док-во, в котором истинность тезиса обосновывается тем, что опровергают истинность суждения, противоречащего тезису, наз. косвенным. К ним относят док-во «от противного», разделительное док-во и док-во по правилу контрапозиции.
Док-во, которое основывается на каком-либо убедительном аргументе, из которого логически выводится истинность тезиса, наз. прямым. Разновидностями прямых доказательств явл-ся синтетическое док-во (синтез), аналитическое док-во (восходящий анализ), аналитико-синтетическое.
Дедуктивное док-во начинается с рассмотрения общего случая.
Сущность синтетического метод доказательства – в том, чтобы доказать истинность гипотезы «Если А, то С», т. е. надо доказать, что из А следует С.
Рассмотрим условие А и некоторые известные теоретические положения Т. Делаем из них логический вывод. Выводим следствие В1. Если В1 совпадает с С, то гипотеза доказана. Если из В1 не следует С, то из В1 делаем логический вывод В2. Так продолжаем до тех пор, пока не получим следствие Вn, которое либо совпадет с С или будет ему противоречить.
Схема:
Если Вn совпадает с С, то истинность гипотезы «Если А, то С» установлена, т. е. из А следует С.
Если Вn противоречит С, то гипотеза неверна, а верно утверждение «Если А, то Вn».
К достоинствам метода можно отнести исчерпывающую полноту и безупречность док-ва, его сжатость и краткость в изложении. Этим методом гипотеза либо док-ся, либо опровергается, но тогда док-ся истинность другого предложения. Благодаря краткости и четкости метод находит широкое применение при изложении док-в в учебниках, а также при объяснении учащимся, сочетается с лекционной формой обучения.
Недостатки метода:
не всегда понятно, какой теоретический материал необходимо добавить к условию, чтобы сделать вывод.
В процессе обучения этот теоретич. материал сообщает учитель, тогда ученикам не ясно, почему выбрали такое исходное положение. Учитель навязывает свою точку зрения.
Пример 1. Надо доказать теорему. Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол.
Следствия В1, В2,…, Вn могут быть многозначны.
Выбрав одно из них и построив цепочку рассуждений, можно получить другое утверждение, которое вовсе не требовалось доказывать. Тогда цепочку рассуждений надо начинать сначала.
чтение готовых док-в в синтетическом изложении или выслушивание их без соответствующих пояснений мало способствует развитию творческих способностей, мышления школьников, вынуждает их заучивать док-ва.
Аналитический метод. Рассуждение восходящим анализом – в следующем. Пусть требуется док-ть: «Если А, то С». Для заключения С подбирают достаточное условие, т. е. такое суждение В1, что из В1 следует С. При этом говорят: «Чтобы истинным было С, достаточно, чтобы истинным было В1». Если об истинности В1 ничего неизвестно, то для В1 подбирают достаточное условие В2 такое, что из В2 будет следовать В1. И так далее пока не получат Вn-1 и Bn – истинное. Для построения цепочки используются условие А и некоторые теоретические положения Т, истинность которых была установлена ранее.
Достоинства: меньшая по сравнению с синтезом степень неопределенности. Кроме того, метод создает благоприятные условия для творческой деятельности и способствует развитию самостоятельности мышления. Каждое достаточное условие определят свою последовательность дедуктивных умозаключений. Однако в этом состоит и недостаток этого метода, т. к. подбор достаточных условий может быть многозначным и не каждый из них удается реализовать, т. е. довести до логического конца. В некоторых случаях достаточные условия обнаружить не удается, т. е. метод восходящего анализа применить нельзя. В процессе обучения восходящий анализ используется для поиска док-ва. Восход. анализ позволяет отыскать те теоретические положения, с которых надо начинать док-во синтетическим методом. Чаще всего он проводится устно, а записывается док-во синтетическим методом, который состоит в обращении построенной ранее цепочки. Чаще поиск док-ва истинности гипотезы начинается с восходящего анализа и когда доходит до суждения, для которого возможны несколько вариантов достаточных условий или когда достаточное условие не удается обнаружить, то нужно переходить к синтезу. Начинаем с синтеза и когда доходим до суждения, из истинности которого можно вывести несколько следствий, тогда переходим к анализу. Такие переходы от анализа к синтезу и наоборот могут происходить несколько раз. Такой метод док-ва наз. аналитико-синтетическим. Переходы от одного способа рассуждений к другому при аналитико-синтетическом методе даже не всегда осуществляется осознанно. Очень часто вывод следствий при синтезе делается уже с учетом того, что требуется доказать, а достаточное условие для истинности суждения подыскивается с учетом тех следствий, которые можно вывести из условия.
Аналитический метод доказательства. Нисходящий анализ.
При нисходящем анализе, если нужно док-ть гипотезу «если А, то С» идут от заключения С, но если при восходящем анализе «восходят» к заключению подбором достаточных условий, то при нисходящем анализе «нисходят» от заключения путем выведения из него следствий. Рассуждения начинаются со слов «пусть С истинно». Используя условие А и некоторые теоретические положения Т, делаем заключение В1. Если об истинности или неистинности В1 ничего нельзя сказать, то делают суждение В2 и так далее пока не получат заключение Вn, о котором известно, истинно оно или ложно.
Схема
нисходящего анализа:
Если Вn ложно, то С тоже ложно, т. к. из истинного суждения по правилам логики нельзя получить ложное суждение.
Если Вn истинно, то сделать вывод об истинности С нельзя, т. к. истинное следствие при соблюдений правил логики и матем-ки можно получить и из ложного суждения. Пример.
Вn не является условием необходимости. Чтобы утверждать об истинности С, необходимо док-ть, что В1, В2, …, Вn тоже являются достаточными для С. Для этого цепочку рассуждений надо обратить, т. е. провести синтез.
Если удалось это сделать, то утверждение «Если А, то С» доказано. А фактически доказана прямая теорема и обратная ей.
Недостаток нисходящего анализа - в его громоздкости, т. е. рассуждения приходится проводить дважды. В обучении этот недостаток заключается в том, что ученики часто проводят док-во только первой части, но не проводят синтез. Кроме того, обратить нисходящий анализ в синтез не всегда удается.
Достоинства метода:
Хотя методом док-ва нисходящий анализ не является, но с его помощью отыскивается исходное положение и план док-ва для синтетичесого метода.
Нисходящий анализ, поскольку он может привести к ложным выводам, можно отнести к деструктивным методам, т. е. методам, которые могут служить для опровержения.
В тоже время если Вn ложно, то проведенные рассуждения лежат в основе метода «от противного». Чтобы док-ть «Если А, то С» это утверждение преобразуют в «Если А, то неС» и дальше методом нисходящего анализа его доказывают.
Если Вn ложно, то неС ложно, следовательно, С истинно. Это косвенный метод док-ва.