7.Теорема. Виды теорем. Методологические знания, которые должны усваивать школьники при изучении теорем.

Теорема – математическое утверждение, истинность которого устанавливается путем доказательства. Доказательство – рассуждение по определенным правилам, обосновывающее какое-либо предложение.

При изучении теорем наряду с информационным компонентом (формулировка теоремы) ученики должны усваивать и познавательные средства, и методологические аспекты.

1. Понятие теоремы.

2. Логическая структура формулировки теоремы:

   1. условие, заключение, разъяснительная часть;

Пример. Сумма смежных углов равна 180

Условие: смежные углы

Заключение: сумма их равна 180

Разъяснительная часть: верно для любых смежных углов.

2. простая теорема: одно условие и одно заключение;

Пример. Вертикальные углы равны.

3. сложная теорема.

Логические аспекты, встречающиеся в сложных теоремах:

1. в теореме сложное условие (несколько условий), связанное союзом «и».

2. в теореме сложное условие (несколько условий), связанное союзом «или» (можно разбить).

Пример. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится дробь, равная данной;

3. в теореме сложное заключение, связанное союзом «и» (можно разбить).

Пример. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны;

4. в теореме сложное заключение, связанное союзом «или».

Пример. Если эти векторы ненулевые, то ABCD - параллелограмм или точки A, B, C, D лежат на одной прямой.

Целесообразно для удобства учащихся сложную теорему, где это возможно, разделить на простые.

3. Виды теорем: прямая, обратная, противоположная, обратная противоположной.

Прямая эквивалентна обратной противоположной, обратная эквивалента противоположной

4. Необходимые и достаточные условия (критерий).

Критерий – это признак, необходимый и достаточный, для утверждения.

Необходимые условия для какого-либо утверждения – это всякое утверждение, без которого данное утверждение заведомо неверно.

«Если А (достаточное условие для С), то С (необходимое условие для А)»

Достаточные условия истинности какого-либо утверждения – это всякое условие, из которого следует утверждение.

5. Сущность доказательства: понятие док-ва, понятие силлогизма; законы логики док-ва.

6. Общелогические методы док-ва.

7. Частные методы (приемы) док-ва, характерные для той или иной темы или нескольких тем: метод площадей, приемы дополнительных построений, общие способы решения уравнений…

8. Эвристические методы науки, приводящие к выдвижению гипотез, лежащие в основе поиска решения проблем.

Овладение указанным содержанием – длительный процесс, охватывающий все годы обучения в школе.

8.Технологический подход в обучении матем-ке. Технология организации усвоения теорем.

Технология работ с теоремой может быть представлена следующей схемой.

Мотивационно-ориентировочная часть	Операционно-познавательная часть	Рефлексивно-оценочная часть
Актуализация знаний	«Открытие теоремы»	Соотнесение учебной задачи и полученных результатов
Мотивация (проблемная ситуация)	Формулировка теоремы	Осознание логической стриктуры теоремы
Постановка учебной задачи	Поиск доказательства	Осознание способов поиска новых фактов и установление их истинности или их опровержение
Планирование решения учебной задачи	Оформление доказательства	Осознание способа доказательства
		Осмысление этапов доказательства
		Формулировка обратного (противоположного) предложения
		Прогнозирование применения и прямое применение – частные эвристики
		Рефлексия и оценка собственных действий
Введение знаний с систему

Конечно, при изучении не каждой теоремы эта технология выступает в чистом виде. Она может носить более свернутый характер.

Важно чтобы выделенные этапы были объединены логически, и каждый этап естественным образом переходил в последующий. Главное – на любой стадии мотивировать изучение той или иной теоремы, включать учеников в самостоятельный поиск док-ва теоремы.

Средствами для организации поиска выступают как эвристические методы, так и дедуктивные рассуждения.

1. Неполная индукция – это умозаключение, которое делается на основе рассмотрения некоторых частных случаев, причем число этих случаев не охватывает всего их множества. Естественно, что полученное таким образом умозаключение может быть только гипотезой. В курсе матем-ки деят-ть учащихся по выдвижению гипотез на основе неполной индукции организуется через моделирование, измерение, вычисление, построение и анализ хорошо выполненных рисунков.

Пример. Теорема Виета

2. Аналогия на протяжении многих тысячелетий являлась основным методом научного исследования. Аналогия при изучении теорем может помочь школьникам как «открыть» теорему, так и найти способ док-ва, а возможно, и то, и другое.

Пример. Площадь трапеции.

С учениками в процессе повторения нужно вспомнить такие факты, как площадь многоугольника – положительное число и обладает следующими свойствами: равные многоугольники имеют равные площади; площадь квадрата со стороной а равна а².

Итак, площадь каждой фигуры мы выводили, используя прием достраивания и разбиения. Площадь каждой фигуры выражается через сторону и высоту, проведенную к ней. Проводя аналогию через элементы, можно предположить, что площадь трапеции будет выражена через b, h, a. Далее предлагаем ученикам найти связь между b, h, a, используя прием разбиения и дополнения. Для этого пусть ученики нарисуют трапецию и разобьют её на известные фигуры.

Несколько учащихся доказывают теорему по рисункам а), б), соответственно.

3. Дедуктивный. К открытию новых закономерностей, док-в могут привести и дедуктивные умозаключения. В этом случае док-во идет впереди формулировки теорем.

Предлагается задача, решается и получают док-во.

4. Генетический.

Пример. Критерий четырехугольника, вписанного в окружность.

Повторяем для треугольника, вписанного в окружность, добавляем точку, лежащую на окружности. Т. е. есть четырехугольник, вписанный в окружность. Добавляя точку, лежащую вне окружности, получаем, что есть четырехугольник, не имеющий описанной окружности. Формулируем проблему.

5. Формулировка обратного утверждения.

На рефлексивно-оценочном этапе происходит осознание, осмысление изученного материала и методов (способов) получения новых знаний.

На этом этапе важна система упражнений и заданий.