7. Як розрахувати інтервали можливих змін цін на одиницю кожного виду продукції?

Необхідно розрахувати інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, у межах яких двоїсті оцінки у_і залишаються на рівні оптимальних значень, тобто розв’язати систему нерівностей (3.43).

Якщо приріст (зміну) запасу першого ресурсу позначимо через b₁, тоді симплексні таблиці даної задачі набудуть вигляду:

Новий оптимальний план можна записати у такий спосіб:

Х^* = (0; 0; 35–1/2b₁; 45 + 1/2b₁; 0; 30 – b₁; 0).

Єдина вимога, яку можна поставити до можливих нових оптимальних значень, — це умова невід’ємності змінних, тобто:

Отже, .

Це означає, що коли запас ресурсу 1 збільшиться на 30 ум. од. або зменшиться на 90 ум. од., то на цьому інтервалі його оптимальна двоїста оцінка залишиться такою ж: у₁ = 1/2. Отже, запас ресурсу 1 може змінюватись у межах:

.

Згідно з цим максимально можливі зміни обсягів виручки підприємства залежно від змін у постачанні ресурсу 1 на такому інтервалі будуть у межах:

,

,

а відповідні критичним значенням діапазону виручки оптимальні плани виробництва продукції будуть такими: (0; 0; 80; 0; 0; 120; 0) = Х^* = (0; 0; 20; 60; 0; 0; 0).

Аналогічно розраховується інтервал стійкості двоїстої оцінки у₃ = 2 для дефіцитного ресурсу 3:

,

.

Отже, якщо запас ресурсу 3 збільшиться на 45 ум. од. або змен­шиться на 17,5 ум. од., то двоїста оцінка у₃ = 2 цього ресурсу залишиться такою ж. Згідно із цим можлива виручка підприємства та оптимальний план виробництва продукції будуть знаходитися у межах:

;

(0; 0; 0; 62,5; 0; 30; 0) = Х* = (0; 0; 125; 0; 0; 30; 0).

Для розрахунку інтервалу зміни недефіцитного ресурсу досить розв’язати одну нерівність (3.45) (нагадаємо, що вона має вигляд: ).

8. Поясніть, що називається областю допустимих планів.

Вектор Х = (х₁, х₂, …, х_n), координати якого задовольняють систему обмежень та умови невід’ємності змінних, називається допустимим розв’язком (планом) задачі лінійного програмування. Розглянемо на площині х₁Оx₂ сумісну систему лінійних нерівностей:

(2.9)

Кожна нерівність цієї системи геометрично визначає півплощину з граничною прямою a_i1x₁ + a_i2x₂ = b_i (i = 1, 2, ...,т). Умови невід’ємності змінних визначають півплощини з граничними прямими х₁ = 0 та х₂ = 0. Система сумісна, тому півплощини як опуклі множини, перетинаючись, утворюють спільну частину, що є опуклою множиною і являє собою сукупність точок, координати кожної з яких є розв’язком даної системи (рис. 2.1).

Сукупність цих точок (розв’язків) називають багатокутником розв’язків, або областю допустимих планів (розв’язків) задачі лінйного програмування. Це може бути точка (єдиний розв’язок), відрізок, промінь, багатокутник, необмежена багатокут­на область.

9. Яка задача математичного програмування називається цілочисловою?

Задача математичного програмування, змінні якої мають набувати цілих значень, називається задачею цілочислового програмування. У тому разі, коли цілочислових значень мають набувати не всі, а одна чи кілька змінних, задача називається частково цілочисловою.

До цілочислового програмування належать також ті задачі оптимізації, в яких змінні набувають лише двох значень: 0 або 1 (бульові, або бінарні змінні). Умова цілочисловості є по суті нелінійною і може зустрічатися в задачах, що містять як лінійні, так і нелінійні функції. У даному розділі розглянемо задачі математичного програмування, в яких крім умови цілочисловості всі обмеження та цільова функція є лінійними, що мають назву цілочислових задач лінійного програмування.

Загальна цілочислова задача лінійного програмування записується так:

за умов: ; ; — цілі числа .