54.Який розвязок задачі лінійного програмування називається допустимим?

Сукупність чисел 1 2 { , ,..., } n X  x x x , які задовольняють обме-

женням задачі, називається допустимим розв’язком (або планом).

Допустимий розв’язок (тобто вектор ) називається опорним розв’язком задачі 0, якщо система векторів , який відповідає його додатнім компонентам , лінійно-незалежна.

В оптимізації (розділі математики), допустимий розв'язок — елемент множини можливих розв'язків даної задачі. Допустимий розв'язок не повинен бути ймовірним чи доцільним розв'язком задачі — це просто набір, який задовольняє всім обмеженням.

Простір усіх допустимих розв'язків називається допустимою областю, допустимою множиною, простором пошуку або простором розв'язків.

55.Як визначити рентабельність кожного виду продукції, що виготовляється на підприємстві?

Однією із задач оптимального виробничого планування є задача досяг-

нення максимальної рентабельності підприємства при виробництві продукції із

запасів сировини різних видів, яку має підприємство.

Для виробництва n видів продукції використовується m видів ресурсів, запаси яких обмежені значеннями . Норма витрат кожного ресурсу на одиницю продукції становить . Ціна одиниці продукції j-го виду дорівнює . Математична модель задачі має такий вигляд:

Пряма задача полягає у визначенні такого оптимального плану виробництва продукції , який дає найбільший дохід.

Двоїста задача до поставленої прямої буде така:

Економічний зміст двоїстої задачі полягає ось у чому. Визначити таку оптимальну систему двоїстих оцінок ресурсів уі, використовуваних для виробництва продукції, для якої загальна вартість усіх ресурсів буде найменшою. Оскільки змінні двоїстої задачі означають цінність одиниці і-го ресурсу, їх інколи ще називають тіньовою ціною відповідного ресурсу.

За допомогою двоїстих оцінок можна визначити статус кожного ресурсу прямої задачі та рентабельність продукції, що виготовляється.

Ресурси, що використовуються для виробництва продукції, можна умовно поділити на дефіцитні та недефіцитні залежно від того, повне чи часткове їх використання передбачене оптимальним планом прямої задачі. Якщо двоїста оцінка уі в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю, то відповідний і-й ресурс використовується у виробництві продукції не повністю і є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка уі > 0, то і-й ресурс використовується для оптимального плану виробництва продукції повністю і називається дефіцитним. У цьому разі величина двоїстої оцінки показує, на скільки збільшиться значення цільової функції Z, якщо запас відповідного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю.

Аналіз рентабельності продукції, що виготовляється, виконується за допомогою двоїстих оцінок і обмежень двоїстої задачі. Ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі є вартістю всіх ресурсів, які використовують для виробництва одиниці j-ї продукції. Якщо ця величина перевищує ціну одиниці продукції (сj), виготовляти продукцію не вигідно, вона нерентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна хj = 0. Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює ціні одиниці продукції, то виготовляти таку продукцію доцільно, вона рентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна змінна хj > 0.

56. Який план називається опорним?

Опорний план — розв'язок системи лінійних обмежень в задачі лінійного програмування, який неможливо представити у вигляді лінійної комбінації будь яких інших розв'язків.

Система обмежень задачі лінійного програмування в канонічній формі має вигляд

де B = (b1, ..., bm)T, Aj = (a1j, ..., amj)T, (j = 1, ..., n) — відомі вектори, T — знак транспонування, а X = (x1, ..., xn) — вектор змінних. Розв'язок X* є опорним планом тоді і тільки тоді, коли множина векторів Aj, для яких xj* > 0, лінійно незалежна.

Кількість додатніх компонент опорного плану не перевищує m. Якщо кількість цих компонент дорівнює m, опорний план називається невиродженим, а множина відповідних векторів Aj утворює базис. Множина Aj1, ..., Ajm є базисом задачі лінійного програмування з обмеженнями (1) тоді і тільки тоді, коли система

має єдиний розв'язок, та xji ≥ 0, i = 1, ..., m.