Розширення спектральних ліній

Ступінь і характер розширення енергетичних рівнів квантових систем виявляються при вивченні форми спектральних ліній, т.б. характерних вузьких ліній випускання або поглинання, які відповідають певному випромінювальному квантовому переходу. Цим питаннями займається оптична спектроскопія.

Розподіл інтенсивності випромінювання (або поглинання) по частоті в межах даної лінії характеризується функцією g(ω), яка називається форм-фактором спектральної лінії або просто формою лінії. Ця функци нормована:

Для характеристики відносної ширини спектральної лінії використовують поняття добротності спектральної лінії, яка чисельно рівна відношенню резонансної частоти ω₀ в максимумі лінії до її ширини Δω на рівні половинної інтенсивності.

У реальних квантових системах існує ряд чинників, що приводять до розширення їх енергетичних рівнів і відповідно до розширення спектральних ліній:

1. Природне розширення.

Це розширення пов'язане з кінцівкою часу перебування атомів і молекул у збудженому стані, що, приводить до «розмиття» енергетичного рівня на величину порядку δЕ ≈ ħ/τ. Форма спектральної лінії, описується функцією Лоренца або, іншими словами» спектральна лінія має лоренцеву форму:

(1)

де Δω = γ = А_mn- ширина лінії на рівні 0,5 від максимума,

ω₀ - резонансна частота.

Кінцівка часу життя частинки на рівні Е_m формально можна врахувати, ввівши загасання в хвильові функції незбуреного стану:

φ _m (r,t)= Ψ _m (r) (2)

Множник е^-t/2τ враховує кінцівка часу життя частинки на рівні Еm.

Розкладання по монохроматичних хвилях (розкладання Фур’є) дає спектр вигляду (1), тобто функцію Лоренца.

Чим більше вірогідність спонтанного випускання Amn тим більше природна ширина спектральної лінії. Типове значення природної ширини лінії для дозволених в дипольному наближенні переходів у видимій області спектру Δω = А_mn ≈ 10 с^-1, тобто Δυ близько 20 МГц при υ₀ ≈ 5-10¹⁴ Гц.

Для переходів з метастабільних рівнів природна ширина лінії істотно менше і за тих же умов має порядок сотень герц. Оскільки коефіцієнт Ейнштейна Аmn пропорційний кубу частоти, то в радіодіапазоні природна ширина лінії істотно менша, ніж в оптичному діапазоні.

Т.я. ω = 2πс/λ , то ширина спектральної лінії Δλ= .

2. Допплерівське розширення.

Ефект Допплера є зміна частоти (довжини хвилі), яка спостерігається при русі джерела хвиль відносно приймача. Цей ефект витікає з теорії відносності і характерний для різних хвиль - для звукових, електромагнітних і т.д.

Якщо, джерело випромінює електромагнітні хвилі з власною частотою ω₀, то для спостерігача, відносно якого він рухається із швидкістю υ, сприймана частота випромінювання

(3)

При << с (с - швидкість світла)

(4)

Частота випромінювання збільшується, якщо джерело наближається до спостерігача, і зменшується, якщо він віддаляється від нього. Хаотичність теплового руху атомів і молекул в газі призводить до того, що замість однієї резонансної лінії з частотою ω₀ приймач сприймає сукупність щільно розташованих ліній, огинаюча яких дає спостережуваний контур спектральної лінії.

Ширина цього спектру пропорційна найбільш вірогідній швидкості частинок в газі (тобто залежить від температури) і власній частоті переходу ω₀.

Згідно розподілу Максвела за швидкостями:

(5)

де υ₀= найбільш вірогідна швидкість руху частинок в газі.

Тоді форма спектральної лінії, обумовлену допплерівськім розширенням:

(6)

де - ширина допплерівської лінії на рівні 0,5 від максимального значення при ω = ω₀ .

Функція (6) є функція Гауса, тому вважають, що лінія, розширена за рахунок ефекту Допплера, має гауссову форму.

В умовах газового розряду для легких атомів величина ≈ 10³ м/с, що для видимої області спектру при υ₀ ≈ 5∙10¹⁴ Гц дає Δυ_D = Δω_D/2π ≈ 3 ГГц.