Фінансова математика Прості та складні проценти

У фінансовій математиці розробляються методи фінансово-економічних розрахунків стосовно змін вартостей грошових потоків. Гроші є найважливішим інструментом фінансової системи. Спрямований рух грошей формує фінансовий потік. Вартість цього потоку з часом може змінюватись. Таким чином, найважливіший фактор, який змінює вартість грошей – час. У фінансовій математиці вивчаються дискретні грошові потоки, що характеризуються дискретними моментами часу надходжень або відтоків відповідних сум. Прикладом дискретного грошового потоку може служити тимчасова послідовність сум, від'ємних у випадку відтоків і позитивних для надходжень. На малюнку 2 зображений потік коштів V₁ – V₄ у моменти часу, відповідно, t₁ – t₄. Як бачимо, V₁ , V₂, і V₄ – позитивні грошові потоки, тобто надходження, а V₃ – від'ємний, тобто кошти витрачаються (повертається борг, інші витрати).

Рис. 2 Графічне зображення грошових потоків

Золоте правило фінансової математики говорить:

Сума, що отримана сьогодні, більша за таку ж суму, отриману завтра.

Отже, гроші, що використовуються протягом періоду часу, мають приносити прибуток, який залежить від тривалості цього періоду. Цей прибуток виміряють у процентах від суми грошей, що використовується.

Проценти (від лат. per cent – на сотню) – сума доходу від надання капіталу в борг або плата за тимчасове користування капіталом в різних формах.

Процентна ставка – питомий показник, виражений у відсотках або коефіцієнтах, у відповідності з котрим в установлений термін нараховується сума відсотків на одиницю капіталу.

Майбутня вартість грошей – сума інвестуємих в теперішній час грошей, збільшена за відповідною процентною ставкою через певний проміжок часу, тобто нарощена сума.

Теперішня вартість грошей – сума, що вкладається, або кінцева сума боргу приведена з врахуванням відповідної відсоткової ставки до нинішнього часового періоду, тобто дисконтована сума.

Нарощення вартості (компаудінг) – збільшення суми інвестуємих в даний час грошових коштів на суму нарахованих відсотків (приведення теперішньої вартості грошей до їх майбутньої вартості).

Дисконтування вартості – зменшення майбутньої суми грошей за рахунок віднімання суми дисконту (приведення майбутньої вартості грошей до їх теперішньої вартості).

Практикуються два способи нарахування відсотків, в залежності від бази нарахування:

1. Прості проценти, коли відсотки нараховуються від початкової суми, здійснюється за формулою:

,

де FV – нарощена сума,

РV – сума, що вкладається,

і – проста відсоткова ставка,

n – кількість інтервалів нарахування процентів у загальному періоді інвестиції (наприклад, якщо здійснюється депозитний вклад терміном на п’ять років із щорічним нарахуванням відсотків, то n = 5, а з нарахуванням відсотків кожного півріччя, то n = 10);

Приклад

Початкова сума 100 грн., відсоткова ставка – 10% (простих), тоді нарощена сума дорівнює:

• наприкінці першого року: FV₁=100+1000,1= 110грн.,

• наприкінці другого року: FV₂=110+1000,1= 120грн. і т.д.

Тобто суми FV₁,FV₂,…,FVn (нарощені суми) являють собою арифметичну прогресію, яка графічно представлена на малюнку 3.

Рис. 3. Нарощування суми FV при простих відсотках

Прості відсотки найчастіше використовують для внутрішньорічних відрізків часу. Тоді n розглядається як доля року:

де t – відрізок часу, до якого обчислюється сума (менший за 1 рік)

Т – тривалість року.

Нарощена сума FV в даному випадку обчислюється наступним чином:

При цьому t може вимірюватись двома способами:

1. точно – визначається точна кількість днів кредитування з використанням спеціальної таблиці, де вказані порядкові номери кожного дня року (із номеру до закінчення терміну кредитування віднімають номер першого дня);

2. приблизно – визначається приблизна кількість днів кредитування, при цьому вважають, що кожен місяць дорівнює 30 дням.

Для визначення Т також використовують два способи:

1. точний – коли Т=365 (366) днів, тобто точна кількість днів у році. Такі відсотки називають точні відсотки;

2. приблизний – коли вважають, що Т=360 днів (12 місяців по 30 днів) – звичайні або комерційні відсотки.

При цьому на практиці використовують три варіанти обчислення простих відсотків:

1. Точні відсотки з точною кількістю днів кредитування – позначаються як 365/365 або АСТ/АСТ;

2. Звичайні відсотки з точною кількістю днів кредитування – позначаються як 365/360 або АСТ/360;

3. Звичайні відсотки з приблизною кількістю днів кредитування – позначаються як 365/360.

2. •Cкладні проценти – відсотки нараховуються від нарощеної суми, тобто початкової суми, збільшеної на суму нарахованих відсотків:

де FV – нарощена сума,

РV – сума, що вкладається,

і – складна відсоткова ставка,

n – кількість інтервалів нарахування процентів у загальному періоді.

Приклад

Початкова сума 100 грн., відсоткова ставка – 10% (складних), тоді нарощена сума дорівнює:

• наприкінці першого року: FV₁=100+1000,1= 110грн.,

• наприкінці другого року: FV₂=110+1100,1= 121грн. і т.д.

Тобто суми FV₁,FV₂,…,FVn (нарощені суми) являють собою геометричну прогресію, яка графічно представлена на малюнку 4.

PV

Рис. 4. Нарощування суми FV при складних відсотках

За способом нарахування розрізняють такі процентні ставки:

• Ставки нарощування (декурсивні ставки), коли відсотки нараховуються наприкінці кожного інтервалу та додаються до початкової суми вкладу або боргу.

Приклад

Початкова сума 100 грн., сума відсотків – 10грн (простих), тоді декурсивна процентна ставка дорівнює 10/100=0,1 або 10%.

• Ставки дисконтування або облікові ставки (антисипативні). Такі ставки використовують у вексельних або в інших кредитних операціях. В даному разі відсотки нараховуються на початку кожного періоду та віднімаються із кінцевої суму боргу, тобто суми, що вказана на векселі.

Приклад

Яку суму необхідно надати в кредит (РV), якщо дисконтна ставка 20%, а повернути необхідно 200грн.?

Р=200-20020%=160грн.

Теперішня вартість грошей при використанні простої облікової ставки обчислюється таким чином:

де РV – теперішня вартість грошей (дисконтована сума боргу);

FV – майбутня вартість грошей (сума кредиту з відсотками)

n – кількість періодів дисконтування (термін кредиту);

d – проста облікова ставка.

При складній обліковій ставці використовується формула:

де d – складна облікова ставка.

Період нарахування – загальний проміжок часу, за який нарощуються або дисконтуються відсотки, тобто загальний термін нарахування відсотків.

Інтервал нарахування – мінімальний часовий термін (в межах загального періоду нарахування) по закінченню якого нараховуються відсотки.

Приклад

Кредит надається терміном на 1 рік (період нарахування – 1 рік), з щомісячним нарахуванням відсотків (інтервал нарахування – 1 місяць).

Задача 1.1

Банк виплачує по пенсійним вкладам 17% річних (простих). Яка сума буде через рік, через півроку, три роки, п’ять років та три місяці, на рахунку пенсіонера, який зробив внесок у 1200грн., якщо період нарахування простих відсотків – один рік?

Розв’язання

Через рік на рахунку у пенсіонера буде сума:

FV₁=PV(1+ ni) =1200(1+0,17)=1404грн.

Через півроку:

FV₂=PV(1+ni)=1200(1+0,5×0,17)=1302грн.

Через три роки:

FV₃=PV(1+ni)=1200(1+3×0,17)=1812грн.

Через п’ять років та три місяці:

FV₄=PV(1+ni)=1200(1+5,25×0,17)=2271грн.

Задача 1.2

Фінансова компанія надає позику в 5000 грн. на 3 роки під складну дисконтну ставку 5% на рік. Яку суму одержить клієнт у момент отримання позики?

Розв’язання

Клієнт отримає таку суму:

РV=5000(1-0,05)³= 4286,9 грн.

Задача 1.3

На банківський рахунок була покладена сума у 1500грн. Через 1 рік та 3 місяці на рахунку було 1631,25грн. Скільки простих відсотків виплачує банк?

Задача 1.4

Виробнича фірма бере позику 10000 грн. на три місяці. Скільки вона повинна повернути через три місяці, якщо кредит надається під 8% щомісячного простого дисконту?

Прості та складні відсотки використовують у споживчому кредиті. Споживач, купуючи товар, ціна якого дорівнює РV, отримує від продавця кредит на всю цю суму (або на її залишок, якщо в момент купівлі він частково сплачує вартість товару). Кредит надається на n років під прості або складні відсотки по ставці і. Сума боргу покупця обчислюється як відповідна до виду процентів нарощена сума, тобто для простих відсотків:

для складних:

Ця сума звичайно повертається рівними виплатами q, які виплачуються m разів на рік. Тоді розмір платежу визначається за формулою:

Задача 1.5

Споживач, купуючи холодильник, ціна якого 2000 грн., в кредит, виплачує. одразу 500 грн., зобов’язавшись уплатити решту протягом 6 місяців, роблячи щомісячні рівні платежі. Яку суму він повинен виплачувати щомісячно, якщо продавець надає кредит на умовах 6% простих на рік?

Розв’язання

Борг покупця – 1500 грн., за товар, проданий в кредит. Кінцева сума боргу дорівнюватиме:

=1500(1+0,50,06)=1545 грн.

Щомісячно покупець повинен сплачувати:

=275,5 грн.

Задача 1.6

Клієнт купує в крамниці телевізор, вартість якого 3000 грн. На всю цю суму він одержує кредит на 3 роки та 6 місяців, який повинен повернути рівними щоквартальними виплатами. Чому дорівнює кожна виплата, якщо кредит надається на умовах 6% річних (простих)?

Задача 1.7

Купуючи меблі для офісу, представник фірми оформлює кредит на рік. За умовами кредитної угоди щомісяця потрібно виплачувати 1000 грн. Якою була вартість меблів, якщо кредит надається на умовах 12% річних (простих)?

Задача 1.8

Покупець придбав товар, ціна якого 5000 грн., в кредит, виплативши одразу 200 грн., та зобов’язавшись уплатити решту протягом 2-х років, роблячи щомісячні рівні платежі. Яку суму він повинен виплачувати щомісячно, якщо продавець надає кредит на умовах 16% складних на рік?

Завдання для лабораторної роботи

1. Використовуючи ППП Excel, заповніть блок клітин робочого листа електронної таблиці колонками значень відсоткової ставки, кількості періодів та нарощеної суми, та побудуйте за ними діаграми росту вартості однієї грошової одиниці, вкладеної на 20 місяців за ставкою 13% річних, при нарахуванні відсотків:

1. простих щомісячно;

2. складних щомісячно;

3. простих щомісячно з реінвестуванням відсотків кожного півріччя;

4. простих щоквартально;

5. складних щоквартально;

6. складних за повний рік;

7. простих за неповну частину року.

2. За допомогою електронних таблиць, використовуючи фінансову функцію ПРОЦПЛАТ(), формат якої: