Фінансова математика Фінансові ренти

У фінансовій діяльності нерідко здійснюються декілька наступних один за іншим платежів – потік грошових платежів. Це, наприклад, щорічні виплати відсотків по облігаціях, періодичні внески в банк для утворення страхового фонду, щомісячні виплати боргу по споживчому кредиту, одержання щомісячної стипендії від благодійного фонду і тому подібні платежі. При всіх таких платежах відбувається нарахування відсотків на гроші, що знаходяться в обороті. При вивченні потоку платежів можуть виникнути дві основні задачі: знайти нарощену суму, тобто суму потоку платежів з відсотками, або, навпроти, по нарощеній сумі визначити величину окремого платежу. Для окремого виду потоку платежів – фінансових рент – розроблені математичні методи розв'язання подібних задач. Ці методи розглянуті нижче.

При визначенні різних формул, що відносяться до розрахунків фінансових рент, ми будемо застосовувати формулу суми перших п членів геометричної прогресії. Нагадаємо, що геометричною прогресією називається послідовність чисел: b1, b2, ..., bп, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число q, що називається знаменником прогресії. Сума Sn перших п членів геометричної прогресії, у якої q=1, обчислюється за формулою:

.

Фінансовою рентою (ануітетом) називається послідовність платежів, що здійснюються через рівні проміжки часу.

Розглянемо загальний випадок: робиться п платежів, наприклад, внесків у банк, кожний з яких дорівнює R; періоди часу між платежами однакові, і наприкінці кожного з них на всі зроблені до цього моменту платежі нараховуються складні відсотки по ставці i. Зобразимо цю ренту на осі часу:

Виведемо формулу обчислення нарощеної до моменту n суми ренти, котру будемо позначати буквами АМ.

Платіж, зроблений у момент n, входить у нарощену суму без зміни, тобто в розмірі R. Сума, нарощена до моменту n на платіж, зроблений у момент n–1, дорівнює R(1+i). Сума, нарощена до моменту п на платіж, зроблений у момент п–2, дорівнює R(1+i)² і т.д. Сума, нарощена до моменту п на платіж, зроблений у момент 2, дорівнює R(1+i)^n-2. Сума, нарощена до моменту на платіж, зроблений у момент 1, дорівнює R(1+i)^п-1. Отже, нарощена сума всієї ренти в момент п буде дорівнювати:

FV=R+ R(1+ i)+R(1+i)²+...+ R(1+i)^n-2+R(1+i)^n-1

Додатки цієї суми є членами геометричної прогресії, перший член якої b=R, знаменник q=1+i; і число членів дорівнює n. Знаходимо суму перших п членів цієї геометричної прогресії:

.

Тобто при розрахунку майбутньої вартості ануітету, здійснюваного на умовах наступних платежів (постнумерандо), коли внески робляться наприкінці кожного періоду, застосовується наступна формула:

, де

FVApost– майбутня вартість ануітету, здійснюваного на умовах наступних платежів (постнумерандо);

R – член ануітету, що характеризує розмір окремого платежу;

i – використовувана процентна ставка, виражена десятковим дробом;

n – кількість інтервалів, по яких здійснюється кожен платіж, у загальному обумовленому періоді часу.

Задача 3.1

Необхідно обчислити майбутню вартість ануітету, здійснюваного на умовах наступних платежів (постнумерандо), при наступних даних:

• період платежів по ануітету – 5 років;

• інтервал платежів по ануітету складає один рік (платежі вносяться наприкінці року);

• сума кожного окремого платежу (члена ануітету) складає 1000 ум. грош. од.;

• використовувана для нарощення вартості процентна ставка складає 10% у рік (0,1).

Підставляючи ці значення в приведену формулу, одержимо майбутню вартість ануітету, здійснюваного на умовах наступних платежів (постнумерандо), яка дорівнює:

ум. грош. одиниць.

При розрахунку майбутньої вартості ануітету на умовах попередніх платежів (пренумерандо) використовується наступна формула:

, де

FVApre – майбутня вартість ануітету, здійснюваного на умовах попередніх платежів (пренумерандо);

R – член ануітету, що характеризує розмір окремого платежу;

і – використовувана процентна ставка, виражена десятковим дробом;

n – кількість інтервалів, по яких здійснюється кожен платіж, у загальному обумовленому періоді часу.

Задача 3.2.

Необхідно обчислити майбутню вартість ануітету, здійснюваного на умовах попередніх платежів (пренумерандо) за даними, викладеними у попередньому прикладі (за умови внеску платежів на початку року). Підставляючи ці дані в приведену формулу, одержимо, що майбутня вартість ануітету, здійснюваного на умовах попередніх платежів дорівнює

=6716 ум. гр. од.

Зіставлення результатів розрахунку по двох прикладах показує, що майбутня вартість ануітету, здійснюваного на умовах попередніх платежів, істотно перевищує майбутню вартість ануітету, здійснюваного на умовах наступних платежів, тобто в першому випадку платникові забезпечена значно більша сума доходу.

При розрахунку теперішньої вартості ануітету, здійснюваного на умовах наступних платежів (постнумерандо), застосовується наступна формула:

,

де PVApost – теперішня вартість ануітету, здійснюваного на умовах наступних платежів (постнумерандо);

R – член ануітету, що характеризує розмір окремого платежу;

i – використовувана процентна (дисконтна) ставка, виражена десятковим дробом;

п – кількість інтервалів, по яких здійснюється кожен платіж, у загальному обумовленому періоді часу.

Задача 3.3

Необхідно обчислити теперішню вартість ануітету, здійснюваного на умовах наступних платежів (постнумерандо), при наступних даних:

• період платежів по ануітету передбачений у кількості 5 років;

• інтервал платежів по ануітету складає один рік (при внесенні платежів на початку року);

• сума кожного окремого платежу (члена ануітету) складає 1000 ум. грош. од.;

• використовувана для дисконтування вартості ставка відсотка (дисконтна ставка) складає 10% у рік (0,1).

Підставляючи ці значення в приведену формулу, одержимо, що теперішня вартість ануітету, здійснюваного на умовах наступних платежів (постнумерандо) дорівнює:

ум. гр. одиниць.

При розрахунку теперішньої вартості ануітету, здійснюваного на умовах попередніх платежів (пренумерандо), використовується наступна формула:

,

де РVАрre – теперішня вартість ануітету, здійснюваного на умовах попередніх платежів (пренумерандо);

R – член ануітету, що характеризує розмір окремого платежу;

i – використана процентна (дисконтна) ставка;

n – кількість інтервалів, по яких здійснюється кожен платіж, у загальному обумовленому періоді часу.

Задача 3.4

Необхідно обчислити теперішню вартість ануітету, здійснюваного на умовах попередніх платежів (пренумерандо), за даними, викладеним у попередньому прикладі.

Підставляючи ці дані в приведену формулу, одержимо теперішню вартість ануітету, здійснюваного на умовах попередніх платежів (пренумерандо), яка дорівнює:

ум. грош. одиниць.

Зіставлення результатів розрахунку по двох останніх прикладах показує, що теперішня вартість ануітету, здійснюваного на умовах попередніх платежів, істотно перевищує теперішню вартість ануітету, здійснюваного на умовах наступних платежів, тобто в першому випадку в процесі дисконтування платникові гарантована набагато велика сума доходу в дійсній вартості.

При розрахунку розміру окремого платежу при заданій майбутній вартості ануітету використовується наступна формула:

,

де R – розмір окремого платежу по ануітету (член ануітету при визначеній майбутній його вартості);

FVApost – майбутня вартість ануітету (здійснюваного на умовах наступних платежів);

i– використовувана процентна ставка;

n – кількість інтервалів, по яких намічається здійснювати кожен платіж, в обумовленому періоді часу.

При розрахунку розміру окремого платежу при заданій поточній вартості ануітету використовується така формула:

,

де R – розмір окремого платежу по ануітету (член ануітету при відомій поточній його вартості);

PVApost – теперішня вартість ануітету (на умовах наступних платежів);

Задача 3.5

Інвестиційний фонд повинен акумулювати суму в 14000 грн. за 5 років. Він вирішує це зробити за допомогою щорічних рівних платежів, роблячи їх в кінці кожного року. Чому повинен дорівнювати кожен з таких платежів, якщо банк виплачує проценти по внескам – 12% річних?

Задача 3.6

Підприємство формує фонд для побудови нового цеху, роблячи внески на початку кожного року в сумі 15000 грн. Гроші вкладаються до банку, який виплачує 5% річних. Яка сума буде накопичена на рахунку підприємства через 5 років?

Задача 3.7

Банк сплачує по депозитам 4% річних. Клієнт щорічно, протягом двох років робить однакові внески на початку кожного року. Які внески він повинен робити, аби теперішня вартість коштів які він вкладає дорівнювала 10000 гривень?

Задача 3.8

Підприємець отримав кредит розміром 100000 грн. під 8% річних та згоден виплачувати його щомісячно по 2000 грн. Скільки місяців потрібно для виплати кредиту?

Задача 3.9.

Інвестор протягом п’яти років вкладає 5000 гривень на початку кожного року. Під яку відсоткову ставку він робив ці внески, якщо через 5 років він отримав 67000 грн.?

У процесі обчислення ануітету можливе використання спрощених формул, основу яких складає тільки член ануітету (розмір окремого платежу) і відповідний стандартний множник (коефіцієнт) його нарощення або дисконтування, які наведені у спеціальних фінансових таблицях.

ППП Excel містить функції, за допомогою яких можна робити різні розрахунки, пов’язані з фінансовими рентами. Основні з цих функцій наведені в таблиці 6.

Завдання до лабораторної роботи

1. За допомогою ППП Excel заповніть фрагмент електронної таблиці значеннями відсоткової ставки, суми періодичного внеску, поточного періоду та загального терміну фінансової ренти. Обчисліть різні показники цих фінансових рент за функціями, наведеними в таблиці 6.

2. Побудуйте діаграму росту в часі майбутньої вартості фінансової ренти, що складається із вкладень 100 грн. щорічно під 3% річних:

а) якщо внески здійснюються на початку року;

б) якщо внески здійснюються наприкінці року.

3. Розв'яжіть задачі 3.1-3.9 за допомогою необхідних фінансових функцій з таблиці 6.

Таблиця 6

Функції аналізу фінансових рент Microsoft Excel

Позначення функції	Величина, що обчислюється
БС(ставка;кпер;плт;пс;тип)	Майбутня вартість ануітету
ПС(ставка;кпер;плт;бс;тип)	Теперішня вартість ануітету
КПЕР(ставка;плт;пс;бс;тип)	Загальна кількість періодів виплати по ануітету
ПЛТ(ставка;кпер;пс;бс;тип)	Сума періодичного платежу фінансової ренти
ПРПЛТ(ставка;период;кпер;пс;бс;тип)	Сума процентних виплат по ануітету за вказаний період
ОСПЛТ(ставка;период;кпер;пс;бс;тип)	Розмір платежу до повернення основної суми боргу за вказаний період на основі ануітету
СТАВКА(кпер;плт;пс;бс;тип)	Розмір відсоткової ставки ануітету

Індивідуальне завдання оформлюється на основі розв'язання практичних задач та виконання лабораторної роботи і повинно містити в собі:

1. Титульний лист (зразок наведений в додатку);

2. Завдання (задачі 3.5-3.9 та до лабораторної работи);

3. Розв'язання задач 3.5-3.9;

4. Виконання лабораторної роботи (діаграми, таблиці).

МОДУЛЬ 4.

ФІНАНСОВІ РИНКИ ТА МІЖНАРОДНІ ФІНАНСИ

• Зміст лекцій

Тема № 10