14. Знаходження розподілу потенціалу методом функцій комплексної змінної

,

де дійсна частина комплексного числа, уявна частина, уявна одиниця. Кожній точці на площині відповідає комплексне число (ксі

Тобто будь-яку функцію комплексну можна записати у вигляді дійсної і уявної частин, кожна з яких буде функцією : ,де дійсні функції. Отже, із кожної комплексної функції можна отримати дві нові дійсні функції. Наприклад,

; ; .

Умова диференційовності комплексної функції наступна.

Для того, щоб комплексна функція , визначена у деякій області була диференційовною у точці цієї області, необхідно і достатньо, щоб функції також були диференційовні у цій же точці і, крім того, щоб виконувались рівняння Коші-Римана:

. Продиференціюємо рівняння Коші-Римана вказаним чином і додамо їх почленно

.Тепер продиференціюємо їх інакше і віднімемо почленно

. Ми отримали нову систему рівнянь

. Власне, що це означає ? Обидві функції задовольняють двовимірному рівнянню Лапласа. А це в свою чергу означає, що кожна із цих функцій є деяким електростатичним потенціалом.

Ось ми й прийшли до магічного слова “потенціал”. Тобто, якщо ми покладемо , ми отримаємо еквіпотенціальні поверхні (оскільки у нас задача двовимірна, то ми отримаємо еквіпотенціальні лінії). Надаючи константі різних значень, ми отримаємо сімейство еквіпотенціальних ліній. Вибравши дві з них у якості контактів, ми практично розв’язали задачу. Маючи розподіл потенціалу,

ми за відомим співвідношенням знаходимо і розподіл напруженості електричного поля.

15. Електроємність. Конденсатори. Послідовне і паралельне зє’днання конденсаторів.

Коефіцієнт пропорційності С, який дорівнює відношенню заряду провідника до його потенціалу, називається електричною ємністю або просто ємністю відособленого провідника.

Потенціал на поверхні металевої сфери радіуса R є , тому ємність сферичного провідника

.

Одиниці електроємності

В СГС , тобто ємність сфери дорівнює просто величині її радіуса . Отже, електрична ємність в СГС має розмірність довжини і вимірюється в см. В СІ ємність сфери Одиницею ємності тут є фарада. 1 фарада (Ф) – ємність такого провідника, потенціал якого дорівнює 1В при наявності на ньому заряду в 1 Кл: . Для практичних потреб фарада є надто великою одиницею, наприклад, ємність Землі складає лише , а у металевої сфери радіуса 1 см У зв’язку з цим на практиці використовують мілкіші одиниці: пікофарада (пФ, pF) , нанофарада (нФ, nF) та мікрофарада (мкФ, F) . Отже, .

Конденсатори

Система провідників, екранованих од зовнішнього електричного поля, яка розглядається з точки зору її електроємності, називається конденсатором. Ємність конденсатора дорівнює відношенню його заряду до різниці потенціалів між обкладками

.

Сполучення конденсаторів

П ри аналізі розгалуженого електричного кола іноді буває зручно деяку частину схеми замінити іншою, еквівалентною їй схемою. Схема вважається еквівалентною даній, якщо при такій заміні напруга на затискачах та струми у підвідних проводах не змінюються. Еквівалентна схема є зручною для аналізу, оскільки вміщує менше число елементів і часто має простішу топологію, що спрощує аналіз. В даному випадку ми будемо замінювати схему з декількома конденсаторами одним, еквівалентним їй конденсатором.

На рис. 2.3.3 зображено схему із двох паралельно сполучених конденсаторів. Напруги на конденсаторах однакові: , а результуючий заряд дорівнює сумі зарядів конденсаторів: . Необхідно замінити ці два конденсатори одним, еквівалентним їм, тобто конденсатором такої ємності, щоби при напрузі U на його обкладках знаходився заряд q. Маємо

,

де С – ємність еквівалентного конденсатора. Таким чином,

. (2.3.7)

При паралельному сполученні конденсаторів їхні ємності додаються.

Рис. 2.3.4 ілюструє послідовне сполучення конденсаторів. Тут різниця потенціалів на затискачах схеми дорівнює сумі різниць потенціалів на окремих конденсаторах: . Заряди конденсаторів однакові , оскільки права обкладка разом із лівою обкладкою та провідником, який їх сполучає, утворюють електронейтральну систему. Для еквівалентного конденсатора маємо

, тобто .

При послідовному сполученні конденсаторів додаються величини, обернені до ємностей.