Тема 10, Тема 11. Модели биологических систем. Динамики развития популяций Моделирование колебаний связанных осцилляторов

1. Задача: Имеется система из N осцилляторов с массами m_i и жесткостью пружин k_i , связанные между собой упругими связями с жесткостью q_i . На каждый осциллятор действует сила вязкого трения - r η_i . Заданы начальные смещения ξ_i (0) и скорости η_i (0) всех осцилляторов. На отдельные осцилляторы действует вынуждающая сила F_iξ = F_iξ (t) некоторые осцилляторы колеблются по закону ξ_i = ξ_i (t). Известно, что крайние осцилляторы закреплены (свободны). Необходимо построить компьютерную модель колебаний связанных осцилляторов.

2. Теория. Рассмотрим цепочку осцилляторов с массами m_i и коэффициентом жесткости k_i , связанных между собой пружинами жесткостью q_i . На каждый i - ый осциллятор со стороны соседних (i - 1) - ого и (i + 1) - ого осцилляторов действует сила:

F_iξ = - q_i (ξ_i - ξ_{i - 1} ) - q_{i + 1} (ξ_i - ξ_{i + 1} ),

Кроме нее на осциллятор действует сила упругости - kξ_i и сила вязкого трения - r η_i , где η_i -- скорость i - ого осциллятора. По второму закону Ньютона, ускорение i - ого осциллятора равно:

θ_i = (F_iξ - r η_i - kξ_i )/m.

Определив ускорение θ_i , можно найти скорость и смещение i - ой массы в следующий момент времени t + Δt:

η_i = η_i + θ_i Δ t,

ξ_i = ξ_i + η_i Δ t.

3. Алгоритм. Эта задача является частным случаем задачи о моделировании движения системы взаимодействующих между собой частиц.

1. Задают параметры системы и начальные условия: число осцилляторов N, их массы m_i , жесткость упругих связей k_i , жесткость пружины внутри осциллятора q_i , шаг по времени Δt, начальные смещение ξ_i и скорости η_i , вынуждающие силы, действующие на различные материальные точки.

2. Дают приращение по времени: переменной t присваивают значение t + Δt.

3. В цикле перебирают все N осцилляторов и для каждого из них опеределяют равнодействующую силу, ускорение, скорость и смещение в следующий момент t + Δ t:

F_iξ (t + Δt) = - q(ξ_i (t) - ξ_{i - 1} (t)) - q(ξ_i (t) - ξ_{i + 1} (t)),

θ_i (t + Δt) = (F_i (t + Δ t) - r η_i (t) - kξ_i (t))/m,

η_i (t + Δt) = η_i (t) + θ_i (t + Δt)Δt,

ξ_i (t + Δt) = ξ_i (t) + η_i (t + Δt)Δt.

4. В цикле стирают предыдущее изображение каждого осциллятора и рисуют новое.

5. Возвращение к операции 2. Если цикл по t закончился, - выход из цикла.

4. Компьютерная реализация. Программа, представленная ниже, моделирует распространение импульса в случае, когда левый элемент среды совершает полколебания.

program PROGRAMMA5;

uses dos, crt, graph;

Const m=0.5; r=0.1; k=0.01;

dt=0.001; q=100; N=50;

Var teta, F, t, y : Real;

i,xx,vv,aa,FF,tt,Gd,Gm : Integer;

eta, ksi : array [0..N] of real;

Procedure GraphInit;

begin

Gd:= Detect;

InitGraph(Gd, Gm, 'c:\bp\bgi');

if GraphResult <> grOk then Halt(1);

end;

Procedure Oscillator;

begin

F:=q*(ksi[i-1]-ksi[i])+q*(ksi[i+1]-ksi[i]);

teta:=(F-r*eta[i]-k*ksi[i])/m;

eta[i]:=eta[i]+teta*dt; ksi[i]:=ksi[i]+eta[i]*dt;

end;

BEGIN

GraphInit;

Repeat begin t:=t+dt;

For i:=1 to N do begin

y:=ksi[i]; Oscillator;

if 5*t<3.142 then ksi[1]:=20*sin(5*t) else ksi[1]:=0;

ksi[N]:=0; {закреплен}

{ksi[N]:=ksi[N-1]; незакреплен}

setcolor(8); circle(10*i,240-round(y*10),2);

setcolor(15); circle(10*i,240-round(ksi[i]*10),2);

end; end;

until KeyPressed;

CloseGraph;

END.