- •Введение
- •Содержание дисциплины лекции
- •Раздел 1. Основы моделирования
- •Раздел 2. Математическое моделирование
- •Раздел 3. Имитационное моделирование.
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания и модели прогнозирования
- •Практические занятия
- •Самостоятельная работа
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Саратовский государственный социально-экономический университет кафедра теоретических основ информатики и информационных технологий
- •Рабочая программа
- •Федеральное агентство по образованию
- •Саратовский государственный социально-экономический университет
- •Кафедра теоретических основ информатики
- •И информационных технологий
- •Рабочая программа
- •Учебно-методическая карта дисциплины Форма 1
- •3. Содержание учебной дисциплины
- •Раздел 1. Основы моделирования
- •Раздел 2. Математическое моделирование
- •Раздел 3. Имитационное моделирование.
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания и модели прогнозирования
- •Практические занятия
- •Самостоятельная работа
- •1. Компьютерное моделирование как метод научного познания
- •Раздел 1. Основы моделирования
- •Этапы компьютерного моделирования
- •Модели. Разновидности моделирования.
- •Раздел 2. Математическое моделирование
- •Компьютерное математическое моделирование
- •Различные классификации математических моделей
- •1.Программирование математической модели.
- •2.Испытание модели
- •3.Исследование свойств имитационной модели.
- •4.Эксплуатация имитационной модели
- •5.Анализ результатов моделирования
- •1. Детерминированные модели
- •2. Моделирование свободного падения тела
- •3. Модель движения тела, брошенного под углом к горизонту
- •4. Уравнения матфизики
- •5. Классификация уравнений матфизики
- •6. Моделирование процесса теплопроводности
- •Экологические модели
- •Компьютерное моделирование в экологии
- •Модели внутривидовой конкуренции
- •Динамика численности популяций хищника и жертвы
- •Раздел 3. Имитационное моделирование
- •Имитационное моделирование
- •Игра "Жизнь"
- •Динамические модели популяций
- •1. Понятие случайных событий
- •2. Вычисление площадей методом Монте-Карло
- •3. Задача Бюффона
- •4. Модели случайных и хаотических блужданий
- •Раздел 4. Системы массового обслуживания и модели прогнозирования
- •Модели потоков
- •Модели потоков
- •6. Классификация потоков.
- •Марковские системы массового обслуживания
- •Сети систем массового обслуживания
- •1. Моделирование в системах массового обслуживания
- •2. Очередь к одному "продавцу"
- •Прочие методологии
- •Практические занятия
- •Тема 1. Этапы и цели компьютерного математического моделирования
- •Некоторые приемы программирования, используемые при моделировании
- •Основные этапы построения математических моделей. Типовые прикладные результаты решения задач математического моделирования Модель движения системы материальных точек
- •Математические системы. Реализация алгоритма для математических систем Методы численного интегрирования и дифференцирования
- •Динамические системы. Реализация алгоритма для механических систем Модель явлений переноса (теплопроводность, диффузия)
- •Тема 6,7. Динамические системы. Реализация алгоритма для экологических систем
- •Тема 8. Модели физических процессов. Модели радиоактивного распада и цепной реакции ядерного взрыва Моделирование систем с одной степенью свободы
- •Модель двумерного движения материальной точки
- •Модели биологических систем. Модель распространения эпидемий Моделирование автоволновых процессов
- •Моделирование распространения волны
- •Тема 10, Тема 11. Модели биологических систем. Динамики развития популяций Моделирование колебаний связанных осцилляторов
- •Метод Монте-Карло
- •Нахождение площадей методом Монте-Карло
- •6.1.Вычисление кратных интегралов методом Монте – Карло
- •Самостоятельная работа
- •Примеры решения задач
- •Решение задачи 8 методом Монте-Карло
- •И их натуральных логарифмов
- •Задания для самостоятельного решения к теме № 3
- •Задания для самостоятельного решения к теме № 4
- •Задания для самостоятельной работы к теме 5
- •Задания для самостоятельного решения к теме 7
- •Задания для самостоятельного решения к теме 8
- •Задания для самостоятельного решения
- •Задания для самостоятельной работы к теме 9
- •Задания для самостоятельного решения к теме 10-11
- •Компьютерное моделирование в экологии. Общие рекомендации
- •Задания к самостоятельной работе
- •Задание для самостоятельного решения к теме смо
- •Вопросы к зачету
Динамические модели популяций
Мы говорили, что при моделировании биологических процессов используется метод индукции - от частного к общему, от гипотез. Именно таким образом строятся в биологии так называемые динамические модели популяций.
Популяция в биологии - это совокупность особей одного вида, существующих в одно и занимающих определенную территорию. Взаимодействие особей внутри популяции определяется внутривидовой конкуренцией, взаимодействие между популяциями - межвидовой конкуренцией.
Человечество как биологический вид можно также рассматривать как популяцию, причем популяцию без внутривидовой конкуренции
Рассмотрим сначала простейшую модель роста населения.
Ni+1=Ni+aNi-bNi
Модель численности популяции с учетом внутривидовой конкуренции
Ni+1=(Ni+aNi-bNi)/(1+cNi)
Знаменатель отражает наличие внутривидовой конкуренции, делающей скорость роста тем меньше, чем больше численность популяции, с - параметр, характеризующий интенсивность внутривидовой конкуренции.
Метод Монте-Карло. Метод Монте-Карло. Идеи и области применения. Нахождение площадей методом Монте-Карло.
1. Понятие случайных событий
В вероятностных моделях смена состояний моделируемой системы определяется случайными величинами.
Событие называется случайным, если оно достоверно непредсказуемо. Случайность окружает наш мир и чаще всего играет отрицательную роль в нашей жизни. Однако есть обстоятельства, в которых случайность может оказаться полезной.
Одним из распространенных приближенных методов решения задач вычислительной математики является случайный метод, называемый метод Монте-Карло. Сущность метода заключается в том, что для решения какой-либо математической задачи, связанной с вычислением числа I, строится некоторая случайная величина ξ, такая, что математическое ожидание этой случайной величины E(ξ) является значением искомого решения. Проведя серию вычислительных экспериментов со случайной величиной ξ, мы можем найти приближенное решение как среднее значение результатов эксперимента.
2. Вычисление площадей методом Монте-Карло
С помощью этого метода можно найти площадь любой фигуры G, которая имеет сложный контур, который сложно описать аналитически или сложно проинтегрировать. Нужно вписать эту фигуру в фигуру известной площади, скажем в прямоугольник со сторонами a b и бросать точку на эту фигуру. Вероятность попадания точки в G будет равна отношению площадей (см. практические задания).
3. Задача Бюффона
Также с помощью случайного метода можно вычислить число π.
Для этого необходимо решить задачу Бюффона. Французский математик Бюффон (XYIII в.) определил, что если на поле, разграфленное параллельными прямыми, расстояние между которыми L, бросается наугад игла длиной l, то вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну прямую, определяется формулой:
Эта задача дала способ вычисления числа π.
Действительно, если L=2l, то
Таким образом, автором было вычислено 200 знаков после запятой числа π. Точность получаемого решения зависит от количества проведенных экспериментов.
Задачу Бюффона можно легко смоделировать на компьютере
Известно, что P=N1/N , где N - число бросаний, N1 - число пересечений иглы с линиями.
Как определить, пересекла игла прямую или нет? Положение иглы можно однозначно определить заданием координаты центра иглы y_0 из [-l/2,l/2] и угла α, задаваемых случайным образом
Тогда координаты концов иглы определяются по следующим формулам:
Условие пересечения прямой - y1*y2<0