4.3.5. Критерии оценки работы систем массового обслуживания
Существует множество критериев оценки систем массового обслуживания. В этом разделе рассмотрены те четыре показателя, которые обычно используются в качестве критериев при математическом исследовании систем массового обслуживания. Однако не следует делать вывод, что эти показатели являются наиболее важными на практике. На самом деле для некоторых реальных систем они не могут быть четко определены, то есть они не существуют.
Пусть:
Di ‑ задержка в очереди требования i;
Wi = Di + Si ‑ время ожидания в системе требования i;
Q(t) - число требований в очереди в момент времени t,
L(t) ‑ число требований в системе в момент времени t (Q(t) плюс число требований, которые находятся на обслуживании в момент времени t).
Тогда показатели
с вероятностью
1 (4.1)
и
с вероятностью
1 (4.2)
(если они существуют) называются установившейся средней задержкой и установившимся средним временем ожидания. Соответственно показатели
с вероятностью
1 (4.3)
и
с вероятностью
1 (4.4)
(если они существуют)
называются установившимся
средним по времени числом требований
в очереди и
установившимся
средним по времени числом требований
в системе.
Здесь и выражение «с вероятностью 1»
дано для соблюдения математической
правильности и не имеет особого
практического значения. Допустим, что
при n∞
(с вероятностью 1) для некоторой системы
массового обслуживания. Если выполняется
очень большое (бесконечное) число
экспериментов, эти средние задержки
фактически в каждом эксперименте
стремятся к конечной величине d.
Заметьте, что
< 1 ‑ обязательное условие существования
d,
w,
Q
и L
в системе массового обслуживания GI/G/s.
К наиболее общим и нужным результатам для оценки систем массового обслуживания относятся уравнения сохранения
Q = d и L = w (4.5)
выполняющиеся для любой системы массового обслуживания, где существуют показатели d и w. Еще одно важное уравнение связывает время ожидания требования в системе с установившейся задержкой требования в очереди и средним временем обслуживания:
W = d + E(S) (4.6)
Следует обратить внимание, что упомянутые выше критерии оценки работы системы могут быть аналитически вычислены для систем массового обслуживания M/M/s (s ≥ 1), M/G/1 при любом распределении G и для некоторых других систем. В общем же случае, чтобы аналитическое решение стало возможным, распределение времени между поступлениями требований, распределение времени обслуживания или обеих этих величин должно быть экспоненциальным или разновидностью экспоненциального распределения Эрланга k-ro порядка.
Например, можно аналитически показать, что установившееся среднее число требований в системе М/М/1 вычисляется по формуле
L = /( ‑ 1) (4.7)
которое отображено на графике рис. 4.2 как функция . Заметим, что L— явно нелинейная функция , и для > 0,8 график L экспоненциально возрастает. Хотя формула, определяющая L, выведена специально для систем массового обслуживания М/М/1, нелинейное поведение, показанное на рис. 4.3, свойственно системам массового обслуживания вообще.
Рис. 4.3. График L = /( ‑ 1) для системы массового обслуживания M/M/1
Еще один интересный и наглядный пример аналитического решения ‑ вычисление установившейся средней задержки в очереди для системы массового обслуживания M/G/1 по формуле
(4.8)
где Var(S) обозначает дисперсию распределения времени обслуживания.
Таким образом, если E(S) имеет большее значение, тогда перегрузка (в данном случае измеряемая как d) будет большей, чего и следовало ожидать. По формуле можно обнаружить и менее очевидный факт: перегрузка также увеличивается, когда изменчивость распределения времени обслуживания возрастает, даже если среднее время обслуживания остается прежним. Интуитивно это можно объяснить так: дисперсия случайной величины времени обслуживания может принять большое значение (поскольку она должна быть положительной), то есть единственное устройство обслуживания будет занято длительное время, что приведет к увеличению очереди.