9.Сутність оптимізац-их моделей. Приклади екон задач матем-го програмув-я

Пошук реального оптимал-о плану віднос-я до екстрем-их задач, в яких необхідно визнач-и маx чи міn (екстр-ум) функції при визначених обмеж-ях. Розв’язув-я екстрем-ої екон-ої задачі склад-я з побудови екон-о-матем-ої моделі, підготовки інформації, отрим-я оптим-го плану, екон-о аналізу отрим-х результатів і визнач-я можлив-ей їх практичного застосув-я. Приклади: 1)Задача визнач-я оптим-го плану вир-ва: для деякої вир-чої системи (цеху, підпр-ва, галузі) необхідно визнач-и план випуску кожного виду продукції за умови найкращого способу використ-я наявних ресурсів. У процесі вир-ва задіяний визнач-ий набір ресурсів: сировина, трудові ресурси, технічне обладь-я. Відомі аг-і запаси ресурсів, норми витрат кожного ресурсу та прибуток з одиниці реаліз-ої продукції. Задаються за потреби обмеж-я на обсяги вир-ва продукції у певних співвідношу-ях. Критерії оптимал-і: мax прибутку, маx тов продукції, міn витрат ресурсів. 2)Транспортна задача: розгляд-я певна кіл-ь пунктів вир-ва та спожив-я деякої однорідної продукції (кіл-ь пунктів вир-ва та спожив-я не збіг-я). Відомі обсяги виготовл-ї продукції в кожному пункті вир-ва та потреби кожного пункту спожив-я. Задана матриця, елементи якої є вартістю транспорт-я одиниці продукції з кожного пункту вир-ва до кожного пункту спожив-я. Необх-о визнач-и оптим-ні обсяги перевезень продукції, за яких були б враховані необхідності вивез-я продукції від виробників та забезпеч-я вимог споживачів. Критерії оптимал-і: міn сумарна вартість перевезень, міn сумарні витрати часу.

11.Модель злп в розгорнутому і скороченому вигляді, в матричній і векторній формах

Для ЗЛП використ-ь такі форми запису: розгорнуту; векторну, матричну, з використ-ям знаку суми (скороч-у). Найбільш часто ЗЛП запис-ь у розгорн-ій формі: Нехай дано лінійну цільову ф-ію Z = c1x1+c2x2+…+cnxn→min(max) (1), і систему обмежень (2), x1,…xn≥0 (3), де a_ij, b_i, c_j (i=1,m, j=1,n) - константи. Необхідно знайти х₁,х₂,…,х_n, що задовол-ь систему обмежень (2) і умову невід’ємності (3) та надають цільовій функції (1) екстремального (min або max) знач-я. ЗЛП зручно записувати за допомог знака суми «∑»

(4), за умов , i=1,m, X_j0, j=1,n(5). Вектор Х=(х₁,х₂…х_n) наз допустимим розв-ом задачі (4)-(5), якщо задовол-є обмеж-я (5). Ще компактніший запис ЗЛП у матричному вигляді: Z=cx  max(min); AX=B, x0, де C=(C₁ C₂…C_n)-вектор-рядок коефіцієнтів при змінних у цільової функції.

-вектор-стов-к змінних -вектор-стов-к вільних членів. - матриця коефіцієнтів при змінних. Зручно запис у векторній формі:

Z=cxmax(min) за умов A₁X₁+A₂X₂+…+A_nX_n=B, x0,

де

-вектори-стовпчики коефіцієнтів при змінних.

12.Властив-і розв’язків задачі лінійн-о програмув-я (злп). Геометр-а інтерпретація злп

_Власт-і розв’язків ЗЛП формул-я у вигляді 4 теорем: 1)Множина всіх планів ЗЛП опукла. 2)Якщо ЗЛП має оптимал-ий план, то екстрем-го знач-я цільова функція набуває в одній із вершин многогранника розв’язків. Якщо цільова функція набуває екстремал-о знач-я більш як в одній вершині цього многогранника, то вона досягає його в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією таких вершин. 3)Якщо відомо, що система векторів А₁,А₂,…,А_k,(k≤n) у розкладі А₁х₁+А₂х₂+…+А_nх_n= А₀, Х≥0, лін-о незалежна і така, що А₁х₁+А₂х₂+…+А_kх_k=А₀, де всі х_j≥0, то точка Х=(х₁,х₂,…,х_k,0,…,0) є кутовою точкою багатогранника розв-ів. 4)Якщо Х=(х1,х2,…,хn)-кутова точка багатогранника розв’язків, то вектори в розкладі А₁х₁+А₂х₂+…+А_nх_n=А₀, Х≥0, що відповідають додатним x_j, лін-о незалежні. Геометр-а інтерпретація ЗЛП: Заг-а постановка: Z=C₁x₁+C₂x₂→max(min) (1) (2). _{(3). Обмеж-я (3) означ, що задача розгляд-я в 1-ій чверті декартової системи координат. Кожне обмеж-я (2) геометрично представ-є собою півплощину обмеж-у лінією. Перетин всіх цих півплощин дає нам допустиму область, яка представ-я собою геометр опуклий багатокутник. С1x1+C2x2=const. При зміні правої частини дає нам сімейство паралел-х прямих, які є перпендик-ні до вектора N(С1,С2). gradz =(dz/dx1;dz/dx2)=(C1,C2)=N. Gradz - показує напрям зрост-я функції, а анти град - спад ф-ії. Використ-я геометр-ї інтерпретації ЗЛП на площині можна запропон-и графІЧНИЙ метод розв’яз-я.}