28. Общее уравнение плоскости и прямой на плоскости.

Положение плоскости в пространстве полностью определяется некоторой точкой, принадлежащей плоскости, и направлением вектора, перпендикулярного плоскости.

М₀ – зафиксированная точка плоскости, - вектор, -ный плоскости.

Пусть М – произвольная точка плоскости, тогда вектор  , т. е. скалярное произведение ( , )=0

Проведём в М₀ и М из начала координат , тогда = . (1)

Уравнение плоскости, заданное принадлежащей ей точкой, определяемой радиус-вектором и вектором , -ным плоскости. - радиус-вектор, проведённый в произвольную точку плоскости – уравнение в векторной форме.

Пусть М₀(x₀,y₀,z₀), M(x,y,z), тогда вектор , . = r-r₀={x-x₀,y-y₀,z-z₀}

Пусть вектор , тогда уравненіе (1) можно переписать так:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0. (2)

Это уравнение плоскости, проходящей через точку (x₀,y₀,z₀) -но вектору {A,B,C} в координатной плоскости. Аналогично можно получить уравнение прямой на плоскости, заданной точкой М₀(x₀,y₀) и вектором N{A,B}.

Рассуждая аналогично, можно сказать, что радиус-вектор, проведённый из начала координат в произвольную точку прямой будет удовлетворять уравнению прямой на плоскости в векторной форме.

Рассуждая аналогично, можно получить: A(x-x₀)+B(y-y₀)=0. (4)

Преобразуем уравнение (2)

Ax+By+Cz-(Ax₀+By₀+Cz₀)=0

Ax+By+Cz+D=0 (5)

D= -(Ax₀+By₀+Cz₀)

Уравнение D – это общее уравнение.

Можно показать, что уравнение любой плоскости в пространстве может быть представлено в виде (5).

Любое уравнение вида (5) – линейное относительно координат x y z, определяет некоторую плоскость в пространстве; преобразуя аналогично уравнение (4) получим Ах+Ву+С=0. (6)

С= -(Ax₀+By₀)

Уравнение (6) – общее уравнение прямой на плоскости.

Можно показать, что уравнение любой прямой может быть представлено в виде (6) и что любое уравнение вида (6) линейное относительно координат х у и определяет некоторую прямую на плоскости.

29. Уравнение плоскости и прямой на плоскости в отрезках.

Пусть некоторая плоскость не II ни одной из плоскостей декартовой системы координат

Такая плоскость отсекает на координатных осях отрезки, которые обозначим a, b и c. А(а,0,0), В(0,b,0), C(0,0,c).

Уравнение этой плоскости может быть представлено в виде Ax+By+Cz+D=0. Потребуем, чтобы А(а,0,0) удовлетворяло этому уравнению. Подставляем координаты этой точки в уравнение (1) вместо x y z:

A∙а+B∙0+C∙0+D=0

А= -D/а

Аналогично из требования, чтобы В(0,b,0) удовлетворяла уравнению (1) имеем: A∙0+B∙b+C∙0+D=0, В=-D/ b.

Точно так же подставляем в уравнение (1) координаты C(0,0,c). Находим: С= -D/с.

Подставляя найденные значения коэффициентов А, В, С в уравнение (1), имеем . Умножим обе части уравнения на ; получаем: - уравнение плоскости в отрезках.

Аналогично можно найти уравнение прямой на плоскости, отсекающей на координатных осях Ох и Оу соответственно отрезки a и b.

Потребуем, чтобы точки пересечения с осями удовлетворяли условию Ax+By+C=0

Преобразуем уравнение (2)