- •1. Матрицы. Основные определения.
- •2. Линейные операции над матрицами и их свойства.
- •3. Умножение матриц. Свойства.
- •4. Транспонирование матриц. Свойства.
- •5. Перестановки.
- •6. Понятие определителя.
- •7. Частные случаи определителей.
- •10. Теоремы о разложениях определителя
- •8. Свойства определителей.
- •9. Миноры и алгебраические дополнения.
- •11. Обратная матрица
- •12. Ранг матрицы.
- •13. Линейные системы уравнений. Основные определения. Матричная запись.
- •14. Формулы Крамера
- •15. Метод Гаусса
- •16. Решение произвольных систем уравнений
- •17. Однородные системы уравнений.
- •19. Линейные операции над векторами
- •20. Линейнонезависимые системы векторов.
- •22. Декартова прямоугольная система координат.
- •21. Понятие базиса. Координаты.
- •23. Скалярное произведение двух векторов. Его физический смысл. Геометрические и алгебраические свойства.
- •24. Выражение для скалярного произведения в декартовых координатах.
- •25. Векторное произведение. Его свойства.
- •26. Выражение для векторного произведения в декартовых координатах.
- •27. Смешанное произведение трёх векторов. Его свойства и выражение в декартовых координатах.
- •28. Общее уравнение плоскости и прямой на плоскости.
- •29. Уравнение плоскости и прямой на плоскости в отрезках.
- •30. Нормальное уравнение плоскости и прямой на плоскости.
- •31. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору.
- •32. Канонические уравнения прямой.
- •33. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.
- •34. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.
- •35. Эллипс.
- •36. Гипербола
- •38. Действительные числа, переменные велечины
- •37. Поверхности второго порядка.
- •39. Предел переменной величины.
- •41. Бесконечно малые и бесконечно большие.Теоремы.
- •42.Основные теоремы о пределах
- •43. Первый замечательный предел
- •44. Второй замечательный предел
- •45. Непрерывность ф-ции
- •46. Классификация точек разрыв
- •47. Непрерывность функции на интервале и на отрезке
- •48. Некот свойсва непрерывной ф-ции
- •53. Производная сложной ф-ции.
- •49. Сравнение бесконечно малых
- •50.Производная.
- •51. Геометрический смысл производной
- •52. Основные правила дифференцирования.
- •54. Обратная функция и её дифференцирование.
- •55.Обратные тригонометрические функции и их производные
- •57. Гиперболические ф-ции
- •56. Производные функций от lnx и ex
22. Декартова прямоугольная система координат.
В качестве базиса декартовой прямоуг. сист. координат выбирают 3 взаимно перпендикулярных вектора , единичной длины
Удобно пользоваться координатными осями. x, y, z – декартовы координаты вектора а. .
Координаты любой точки М пространства определяют как координаты вектора r, проведённого из начала координат в точку. Можно показать, что декартовы координаты вектора = его проекциям на координатные оси.
Координаты точки декартовой системы координат = отрезкам, отсекаемым проекциями точки на координатных осях.
Модуль вектора
21. Понятие базиса. Координаты.
Базисом в пространстве называют любые 3 некомпланарных вектора. Из следствия (каковы бы на были 3 некомпланарных вектора любой вектор пространства может быть представлен в виде (2), где α, β и γ – некоторые числа) вытекает, что любой вектор пространства может быть представлен в виде суммы произведений некоторых чисел на векторы базиса. Числа α, β и γ в равенстве (2) называются координатами вектора в базисе .
Очевидно, что любая пара некомпланарных векторов образует базис на плоскости. Любой вектор плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации 2-х базисных векторов. Можно показать, что любой вектор может быть разложен по данному базису единственным образом.
Система координат (СК). Считается, что в пространстве задана СК, если задан базис и некоторая точка, которая называется началом координат. СК позволяет задать координаты любой точки пространства. Координаты точки определяются как координаты вектора, проведённого из начала координат в данную точку.
Проекцией вектора на прямую в пространстве называется отрезок АВ на этой прямой, где точка А1 является проекцией точки А на эту прямую, а точка В1 – проекцией на неё точки В.
Осью будем называть направленную прямую. Проекция вектора на ось = произведению длины этого вектора на cos угла, образованного данным вектором и осью.
23. Скалярное произведение двух векторов. Его физический смысл. Геометрические и алгебраические свойства.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
- проекция вектора b на направление вектора a, тогда
Таким образом, скалярное произведение 2х векторов = произведению модуля одного из них на проекцию другого на направление первого.
Геометрические св-ва:
1) необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство 0 их скалярного произведения. Это вытекает из того, что cos90o=0. В дальнейшем под углом между векторами будем понимать меньший из углов между ними
2) 2 вектора составляют острый (тупой) угол, когда их скалярное произведение положительное (отриц.). Эти утверждения следуют из того, что cos острого угла положителен, а тупого – отрицателен.
Алгебраические св-ва:
1.
2. множитель перед любым вектором можно вынести
3.
4. . cos0=1 только в том случае, когда
Физический смысл: . Работа, совершаемая силой F при перемещении l = скалярному произведению