1)Числ послед-сти.Предел послед-сти

Ч.п-фун-я нат аргумента : .Число А называется пределом числовой последовательности, если для каждого сколь угодно малого полож. числа э>0, найдётся такой номер N, что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство: Предел числ посл-сти обозначается . Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, иначе расходящейся.

2)Бесконечно малые и бесконечно большие послед-сти

Послед-ть наз-ся бесконечно малой,если её предел равен 0 Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.

3)Теоремы о бессконечномалых послед-стях

1)сумма 2-х бескон.мал.послед.-есть бескон.малая послед-ть.|αn|< Е2 ; |βn|< Е2Т.к. | αn+ βn |≤|αn|+|βn|=>|αn+βn|≤|αn|+|βn|<Е2+Е2=E

Сумма конечн.числа бескон.мал.послед.-бескон.мал.послед.

2)произвед.2-х бескон.мал.послед.-бескон.мал.послед.

3)произвед.бескон.мал.послед.на ограничен-ю послед.-бескон.мал.послед-ть.

4)Правила вычисления пределов

если 2 последовательности сходятся то сходятся их сумма, произведение и частное.

lim1/n=0

limn=+8

limc=c

lim1/n^a=0,a>0

limn^a=+8,a>0

limq^n=0, q<1

limq^n=+8,q>1

если :lim Xn=a( n → ∞) ,lim Yn =b( n → ∞),то:

lim(Xn±Уn)=a±b ( n → ∞), limAnBn = AB( B ≠0)

док-во :т.к. Xn и Уn сход-ся соотв.числам А и В,то: Xn=A+ αn, Уn=B+βn:

Xn±Уn=(A±B) + (αn+ βn) => Xn ± Уn=(A± B)+jn(послед-ть сходится)

если:lim (Xn ,Уn)=ab( n → ∞),док-во:Xn*Уn=AB+A βn+B αn+ αn βn=AB+jn,означает что: Xn Уn сход-ся и :lim 1n =0( n → ∞)

5)Предел фун-ии.Бесконеч малые и большие фун-ии

б) Предел ф-ции: y=f(x) число а называется пределом

переменной х, если разность м/ду ними

есть б.м.в. |x-a|0, |x-a|<

Число А называется пределом ф-ции f(x)

при ха, если для каждого, как угодно малого

на период заданного числа . ->0, найдется

такое как угодно малое на период заданного

>0, что будут выполняться неравенства:

Если |x-a|<, то |f(x)-A|<

Основные св-ва: 1.Если величина имеет предел, то только 1.

2. limC=C, где С- постоянная величина

3. Если -б.м.в., то lim=0

4. предела б.б.в. не существует

5. если limy=a, то y=a+, где -б.м.в.

Опред.бескон.мал.ф-ции:

Lim xxa)-бескон.мал.

Если пред.ф-ции в точке А =В то: α(x)=f(x)-B; f(x)=B+ α(x)

Если α(x) β(x) бескон.мал.в точке А,то их сумма и произвед.явл-ся бескон.мал.в точке А: α(x) ±β(x)

Если f(x) и j(x) имеют в точке А пределы,равные В и С то пределы суммы в точке А равны сумме пределов

Lim [f(x) q(x)]=B±Cxa), Lim f(x) q(x)=B*Cxa),lim f(x) q(x)= BC,C≠0

Lim Pn(x)=Pn(a),xa); lim Pn(x)Qn(x)= Pn(a)Qn(a); lim Pn(x)Qn(x) ( 00);

Опред.бескон.больш.ф-ции:

Lim f(x) = ±∞ (xLim f(x) = ±∞ (xбескон.больш.ф-ция

Y=1x , lim 1x = -∞( x lim 1x = +∞( xlim xx+2= +