43)Декартова с-ма координат в пространстве

пространстве задаются с помощью точки начала координат и трёх взаимно-перпендикулярных направленных прямых. Прямые занумерованы, задан единичный отрезок. Положение любой точки пространстве однозначно определено тремя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось, второе – величина проекции на вторую ось, третье – на третью.

44)Скалярное пр-ние векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства скалярного произведения:

(а,а)=|а|^2

(а, λ·b)= λ·(a,b)

(a,b)=0 <=> a b

Скалярное произведение в координатах

Если то

Угол между векторами

45. Векторное произведение векторов

Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Свойства:

1

2 A*b=0, если a=0, или b=0

3

4

Если заданы векторы a(xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то * =

46. Смешанное произведение векторов

Смешанным призведением 3-ёх веторов a,b, c называют число равное столярному произведению векторного произведения a b на с.

(a, b ,c)=(a*b, C)= sin * cos

(a,b,c)= V

Свойства:

1)(a,c,b)=-(a,c,b)

2)если в смешанном произведении циклически переставляются а и b, то знак не меняется

(a,b,c)=(c,a,b)

3)если 3 вектора лежат в одной плоскости, то смеш. произ-ние=0

В декартовой системе координат, если a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2},

с={x3, y3, z3}, => <a,b,c>=

47)Уравнение прямой на плоскости(параметрическое, каноническое и с угловым коэфф)

Уравнение с угловым коэффициентом.

k= tg α – угловой коэффициент.

Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид

Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох.

Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид и пройдет параллельно оси оу.

каноническое уравнение

Пусть N(x, y, z) — произвольная точка пространства. Построим вектор MN = {x − x0, y − y0, z − z0} (рис.1). Очевидно, что точка N принадлежит прямой тогда и только тогда, когда вектор MN коллинеарен вектору

когда их координаты пропорциональны:

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

параметрическое уравнение

Одна или две координаты направляющего вектора прямой →aмогут быть равны нулю, это означает, что числитель соответствующей дроби тоже равен нулю. Если в ввести параметр t то уравнения прямой можно записать в виде Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.