30)Матрицы.Действия
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины.
Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.
Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.
Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обозначается буквой Е.
Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, называется треугольной.
Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.
Операции над матрицами
1) Умножение матрицы на число
Заданное число умножается на каждый элемент матрицы
2) Сложение, вычитание матриц
Только для матриц одинаковых размеров, матрицы складываются поэлементно
3) Умножение матриц
Умножать можно только согласованные матрицы(число столбцов А равно числу строк Б). Произведение матриц Аm.n*Bm.n=Сm.n, каждый эл-т сijравен сумме произ-ний эл-в iтой строки матрицы Анна соотв. эл-ты jго столбца матрицы В. Если пр-ние матриц АВ сущ. то после перестановки сомножителей местами пр-ние м-триц ВА может не существовать.
Свойства умножения матриц:
1. А(ВС)=(АВ)С
2. α(АВ)= (αА)В=А(αВ)
3. (А+В)С=АС+ВС
4. С(А+В)=СА+СВ
4) Возведение в степень(только для квадратных матриц).A^m=A*A…A(m раз)
А^0=Е, А^1=А, А^m*A^k=A^m+k, (А^m)^k=A^mk
5) Транспонирование матриц-переход от матрицы А к матрице А’, в кот строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
Свойства:
1. (АТ)Т=А
2. (αА)Т=αАТ
3. (А+В)Т=АТ+ВТ
4. (А∙В)Т= А Т ∙В Т
33) Опеределители 2го и 3го порядка
(только для квадратной матрицы)
Определителем матрицы 2го порядка называется число, кот вычисляется по формуле:
Определителем матрицы 3го порядка..
по формуле:
Свойства:
Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных ряда, равен нулю.
Общий множитель элементов можно вынести за знак определителя.
Если элементы какого-либо ряда представляют собой сумму элементов, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Определитель не изменится, если прибавим ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.
Определитель равен сумме элементов, умноженных на соответствующее им алгебраическое дополнение.
Сумма произведения элементов одного ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.
34)Определители n-го порядка
Определителем n-го порядка называется число равное алгебраической сумме n членов каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причём знак каждого члена определяется как (-1)^r(J), где r(J)-число инверсий в перестановке J из номера столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания.