55) Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви гиперболы и параболы, имеет вид где , полярные координаты произвольной точки линии, р - фокальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендикулярной к ее оси), - эксцентриситет (в случае параболы Полярная система координат при этом выбрана так, что полюс находится в фокусе, а полярная ось направлена по оси линии в сторону, противоположную ближайшей к этому фокусу директрисы.

56) Общее уравнение плоскости.

Вектор (A, B, C) перпендикулярен плоскости.

• Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)

• Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.

• Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.

• Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.

• Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy.

57) Нормарованное уравнение плоскости.Расстояние от точки до плоскости

Нормальное уравнение плоскости.

Расстояние от точки до плоскости.

Дано:

M₀ (x₀;y₀;z₀)

Расстояние d от точки М₀ до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где М₁(x₁;y₁;z­₁) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора

!!!Если плоскость задана уравнением:

то расстояние до плоскости находится по формуле:

58)Взаимное расположение плоскостей

Условием параллельности 2х плоскостей является пропорциональность коэффициентов при одноименных переменныхA1/A2=B1/B2=C1/C2,а условием их перпендикулярности A1A2=B1B2+C1C2=0

59)Уравнение прямой в пространстве

Каноническим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x0,y0,z0) параллельно вектору a(l,m,n) называется равенство:

Уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки A(x0,y0,z0) и B(x1,y1,z1) называется равенство:

Параметрическим уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку A(x0,y0,z0) параллельно вектору a(l,m,n) называется:

60)Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую.

|M1M0×a|=|M1M0|•|a|•sinφ. sinφ=d/|M1M0| => d=|M1M0|•sinφ.

61)Взаимное расположение прямых в пространстве

Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.

Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.

В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

На рис. 26 прямая a лежит в плоскости A, а прямая с пересекает A в точке N. Прямые a и с — скрещивающиеся.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость A || b (в плоскости указана прямая a1 || b).

Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, нeпересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и пол комнаты.