14)Правила дифф.
Пусть 2 ф-ции u(x), v(x) диф-мы, тогда их сумма,разность,произведение,частное также явл. диф-мыми ф-циями и имеют место следующие формулы:
(u±v)’=u’±v’ (1)
(u*v)’=u’v+uv’ (2)
(u/v)’=(u’v-uv’)/v2 (3)
x, ∆x
∆v=v(x+∆x)-v(x)
∆u=u(x+∆x)-u(x)
∆(u+v)= ∆u+∆v (4)
Формулу (4) делим на ∆х.
∆(u+v)/∆x = ∆u/∆x +∆v/∆x (5)
lim∆u/∆x=u’ (∆x стрем к 0)
lim∆v/∆x=v’ (∆x стрем к 0)
lim∆(u+v)/∆x=(u+v)’=u’+v’
Рассм. приращение ф-ции:
∆(u*v)=u(x+∆x)*v(x-∆x)-u(x)*v(x)=u(x+∆x)*v(x)+v(x+∆x)*u(x)=u(x+∆x)*∆v+v(x)*∆u
∆(u*v)/∆x= u(x+∆x)*∆v/∆x +v(x)*∆u/∆x (6)
lim u(x+∆x)=u(x) (∆x стрем к 0)
uv’+u’v - предел правой части формулы (6)
Из формулы (2) следует,что
v=C ;
v’=0 соотв-но С’=0
(C*u)’=cu’
15)Производ параметрически и неявно заданной фун-ции
x=φty=ψt соотв-но t=φ-1(x) ; y=ψ(ф-1(х))=F(x)
y’x=ψ’(t)*(ф-1(x))’=y’t*t’x= y’t /x’t
ф(x,y)=0 ; y=f(x) – диф-ма
y=u(x)u(x) , u(x)>0 – показат.-степенная ф-ция
16)Дстаточное условие возраст(убыв) фнн-ции в точке
Функция f (x) называется возрастающей в точке х0, в окрестности которой она определена, если для как угодно малого положительного h имеет место условие: f (x0 − h) < f (x0) < f (x0 + h)
Функция f (x) называется убывающей в точке х0, в окрестности которой она определена, если для как угодно малого положительного h имеет место: f (x0 − h) > f (x0) > f (x0 + h)
Функция является возрастающей (убывающей) на интервале (а, b ), если она является возрастающей (убывающей) в каждой его точке.
Теорема. Для того чтобы функция f (x), дифференцируемая в точке х0 Î (а, b), возрастала (убывала) в точке х0 , достаточно, чтобы f ' (x0) > 0 (f ' (x0) < 0)
Доказательство. Так как по условию f (x) дифференцируема в точке х0 Î (а ,b), то существует предел
В достаточно малой окрестности точки х0 имеем
где sign A означает "знак выражения А". Для случая f ' (x0) > 0 имеем sign f ' (x0) = + 1, поэтому
sign (f ( x0 + h) − f ( x0)) = sign (h).
Откуда следует f (x0 − h) < f (x0) < f (x0 + h), что означает возрастание функции в точке.
17)Локал ограниченность фун-ции имеющ в точке конеч предел
Локально ограниченная - это значит ограниченная на каком-то множестве аргументов, то есть можно указать такие значения a и b, что a <= f(x) <= b для любого x из этого множества.
Например, может быть локально ограниченная на интервале, в проколотой окрестности и т. д.
Если функция имеет предел в точке x0, то она действительно локально ограничена в проколотой окрестности точки x0.
18)Необходим условие сущ локал экстрем
Пусть функция
дифференцируема в точке локального
экстремума x0. Тогда:
Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.
19)1-е необходим достаточное сущ экстремума
Пусть функция
непрерывна в
и существуют конечные или бесконечные
односторонние производные
.
Тогда при условии
x0 является точкой
строгого локального максимума. А если
то x0 является точкой строгого локального
минимума. Заметим, что при этом функция
не дифференцируема в точке x0.
20)2-е необходим достаточное сущ экстремума
Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x0. Тогда при условии
x0 является точкой
локального максимума. А если
то x0 является точкой локального минимума.
21)Теорема Роля
Если вещественная функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Следствие
Если непрерывная функция обращается в ноль в n различных точках, то ее производная обращается в ноль по крайней мере в n − 1 различных точках, причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.