48)Уравнение прямой на плоскости(с заданным нормальным вектором, общее уравнение и уравнение в отрезках на осях координат)

Общее уравнение прямой.

A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

• Если В=0, то уравнение имеет вид или . Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку

• Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом .

• Если А=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение прямой, параллельной оси ох.

• Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или где Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

с заданным нормальным вектором

Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости (прямой на плоскости) называется нормальным вектором этой плоскости (прямой на плоскости).

Теорема. Пусть радиус-вектор текущей точки М плоскости (прямой на плоскости), – радиус- вектор какой-нибудь фиксированной точки плоскости (прямой на плоскости), – нормальный вектор плоскости (прямой на плоскости). Тогда уравнение является векторным уравнением плоскости (прямой на плоскости).

49)Нормированное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Нормальное уравнение прямой.

Уравнение прямой можно записать в виде:

Т.к. ; , то:

Расстояние от точки до плоскости.

Дано:

M₀ (x₀;y₀;z₀)

Расстояние d от точки М₀ до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где М₁(x₁;y₁;z­₁) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора

!!!Если плоскость задана уравнением:

то расстояние до плоскости находится по формуле:

50)Взаимное расположение прямых на плоскости

На плоскости заданы прямые общими уравнениями: Если выполнены условия то прямые совпадают Если выполнены условия то прямые параллельны

Векторы - нормальные векторы прямых и соответственно. Если скалярное произведение векторов и обращается в ноль, т. е. то прямые и перпендикулярны.

Условие перпендикулярности прямых и в координатной форме:

51)Каноническое уравнение эллипса

Э ллипсом называется

геометрическое место всех

точек плоскости, сумма

расстояний от которых до

до фокусов есть величина

постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.

Т.к. MF₁ + MF₂ = 2a

Т.к.

То получаем

Или

52) Каноническое уравнение гиперболы

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF₁ – MF₂|=2a или MF₁ – MF₂=±2a,

53) Каноническое уравнение параболы

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через р>0.

П усть M(x;y) – произвольная

точка M с F. Проведем отрезок

MN перпендикулярно

директрисе. Согласно

определению MF=MN.

54) Полярная система координат

Кроме прямоугольной или декартовой системы координат часто используется полярная система координат. Возьмем на плоскости направленную прямую Ох и на ней точку О рис 15

Положение точки М на этой плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием r от взятой нами точки О и углом φ, образуемым отрезком ОМ с положительным направлением прямой Ох.

Отсчет углов обычно ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Числа r и φ называются полярными координатами точки М, причем r называется радиус-вектором,

φ - полярным углом.

Прямая Ох называется полярной осью, а точка О - полюсом полярной системы координат.

Заметим, что r (как расстояние) - всегда величина положительная, а угол φ может изменяться от 0 до 2π и далее до бесконечности.

Координатные линии полярной системы суть концентрические окружности с центром в точке О (r =const) и лучи, выходящие из точки О ( φ =const ).

Из рис. 16 видно, что если полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось - с осью абсцисс, то прямоугольные координаты точки М выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

Полярные координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты такими формулами:

Определяя величину φ из (52) и имея в виду, что r > 0, видим, что знак должен быть одинаков со знаком y, а знак - со знаком х.

Отсюда по знаку sin φ и cos φ легко установить четверть, в которой лежит искомый угол.