11)Производная сложной фун-ии

Пусть ф-ция f(x) дифференцируема в т.х, тогда сложная ф-ция f(ф(х)) диф-ма

y=f(ф(t))=F(t) ; x= ф(t)

y’_t=f’_u* ф’_t

т.к. ф-ция f(x) диф-ма в т.х, то её приращение ∆y=f’(x) ∆x +α(∆x) ∆x

lim α(∆x)=0(∆x стрем к 0)

т.к. х=ф(t) диф-ма в т.t,то её приращение в этой точке ∆х представимо в виде

∆х=ф’(t) ∆t+β(∆t) ∆t

lim β(∆t)=0(∆t стрем к 0)

∆y=f’(x)[ф’(t) ∆t+α(∆t) ∆t]+α(∆x)[ф’(t) ∆t+α(∆t) ∆t]

∆y/∆t =f’(x)[ф’(t)+α(∆t)]+α(∆x)[ф’(t) +α(∆t)]

т.к. x=ф(t) диф-ма соответств. и непрерывна, то ∆х стрем к 0 при ∆t стрем к 0

lim α(∆x)=0(∆t стрем к 0)

lim ∆y/∆t=f’(x) ф’(t)

y’_t= f’(x) ф’(t)

y=f(u(x))

y’=f’(u)*u’(x)

y=(v(u(x)))

y’=f’(v)*v’(u)*u’(x)

Таблица производных сложной ф-ции:

(u^α)’=αu^α-1 u’

(sinu)’=cosu*u’

(cosu)’=-sinu*u’

(tgu)’=u’/cos²u

(ctgu)’=u’/-sin²u

(lnu)’=u’/u

(a^u)’= a^u lnu*u’

(e^u)= e^u u’

(arcsinu)’=u’/(1-u2 )

(arctgu)’=u’/(1+u²)

12)Производ обрат фун-ии

y= f(x), xЄ[a,b]

Если из сегмента [a,b] ставится единств. значение y,то в этом случае сущ. обратная ф-ция х=f^-1(y)

Теорема сущ-я обратной ф-ции: Если ф-ция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и явл. строго монотонной на этом сегменте,для нее сущ. обратная ф-ция.

Теорема о производной обратной ф-ции: Пусть ф-ция f(x) явл. строго монотонной в некоторой окрестности т.х₀.Кроме того ф-ция f(x) диф-ма в т.х₀ и её производная в точке не равна 0 (f’(x₀)≠0 , y₀= f(x₀)) , тогда сущ-ет обратная их ф-ция,кот. диф-ма в т.у₀, и её производная.

х=f^-1(y),

(f^-1(y))’ =1/f’(x₀) если ( y=y₀)

13)Дифференцируемость фунцииюДифференциал

Пусть ф-ция определена в окрестности х.Рассм. приращение ф-ции в т.х.

∆y=f(x+∆)-f(x)

Диф-ть ф-ции в точке-ф-ция f(x) наз.диф-мой в т.х,если её приращение в этой точке представимо в виде

∆y=A*∆x+α(∆x)∆x (1) ,где

α-бесконечно малая limα(∆x)=0(∆x стрем к 0) (2)

А-некоторое число,не зависит от ∆х

Х-некоторая точка

Если ф-ция диф-ма во всех точках этого множества,то она наз. диф-мой на этом мн-ве.

Теорема (необходимое и достаточное условие диф-сти ф-ции): Для того,чтобы ф-ция f(x) была диф-ма в т.х необходимо и

достаточно,чтобы в этой точке сущ-ла конечная производная f’(x).

Необходимость. Пусть ф-ция f(x) диф-ма в т.х, тогда имеет место формула (1).Поделим обе части на ∆х.

∆y/∆x=A+α(∆x) (3)

В формуле (2) устремим ∆х к 0. Согласно (2) предел правой части (3) сущ-ет и равен А соотв-но сущ-ет и предел левой части (3),кот. по определению равен производной и равен А.

lim ∆y/∆x=f’(x)=A (∆x стрем к 0) (4)

Достаточность. Пусть в т.х сущ-ет конечная производная

lim ∆y/∆x=f’(x) (∆x стрем к 0) (5)

Из сущ. (5) следует,что ∆y/∆x-f’(x)=α(∆х) (6) – бесконечно малая

∆y =f’(x)∆x+α(∆x)∆x (7)

По (7) означает,что ф-ция диф-ма в т.х.

Из теоремы следует,что понятие диф-ть ф-ции в точке и сущ-ние в этой точке конечной производной явл. эквивалентным,поэтому процедура вычисления производной наз-ся диф-ной.

Из формулы (1) следует непрерывность ф-ции в т.х. Если ф-ция диф-ма в т.х,то она обязательно непрерывна в этой точке.

lim∆y=0 (∆x стрем к 0) (8)

dy=f’(x)∆x , dy-дифференциал

Если х-независимая переменная,то её дифференциалом наз.приращение аргумента.

x-нез.переменная

dx=∆x

dy=f’(x)dx (9)