6)Непрерывность фун-ции

Lim f(x)=f(a)( xнепрерыв.ф-ции

Если ф-ция непрерыв.во всех точках множ-ва Х ,она наз-ся непр-й

Lim X=A)( x; lim f(x) = f (lim x) )( x;

Если ф-ция непрер.в точке А то знак предела и знак ф-ции можно менять

Lim ∆f=0-конечно разностное условие непрерыв-ти ф-ции

F(x)-f(a) =∆f; lim cos x=cos A( x;lim sin x –sin A( x;

7)1И2 замечат пределы

1й: limsinx/x=1, limx/sinx=1.

x0

j

lim((Sin)/)=1

x0

S_OAC<S_{сектораOAC}<S_OCB

S_OAC=1/2*OC*AD,

OA=OC=1, то

S_OAC=1/2*OC*OA*Sin=1/2*Sin

S_{сектораOAC}=1/2*OA*OC*=1/2*(т.к. OA=OC)

S_OCB=1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tg=1/2*tg

1/2*Sin<1/2*<1/2tg //*2

sin<<tg//:sin

1</sin<1/cos, =>cos<sin/<1,

limCos<lim((Sin)/)<lim1, по признаку

0 0 существования

предела ф-ции lim((Sin)/)=1 0

2ой: lim(1+1/n)ⁿ=e2.7183n

Зная, что 1/n= - б.м.в., то n=1/ и

x 0

lim(1+1/n)^1/=e0

8)Классификация точек разрыва фун-ии

Точки разрыва функции – это точки в которых нарушается непрерывность функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы)

и

При этом, если:

- А₁=А₂ то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

- А₁≠А₂ то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

|A₁ – A₂| называется скачком функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности.

9)Производная.Геометр смысл

Производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю.

Производная функции f(x) есть некоторая функция

f ’(x), произведенная из данной функции.

Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале.

Геометрический смысл производной.В задаче про касательную в кривой был найден угловой коэфициент касательной k=tga=lim(dy/dx)(x стремится к нулю). Это равенство перепишем ви виде f'(x)=tga=k, то есть производная f'(x) в точке х равна угловому коэфициенту касательной к графику функции y=f(x) в отчке, абсцисса которой равна х.

10)Уравнение касательной и нормали к кривой

Если точка касания М имеет координаты (x0;y0), то угловой коэфициент касательной есть k=f'(x0). Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (y-y0=k(x-x0)), Можно записать уравнение касательной: y-y0=f'(x0)*(x-x0).

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, назыывается нормалью кривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэфициент kнорм= - (1/kкас)= - (1/f'(x0)).

Поэтому уравнение нормали имеет вид: y-y0= -(1/f'(x0)*(x-x0). Если f'(x0)неравно нулю.