55.Обратные тригонометрические функции и их производные

Функция y=sin x монотонно возрастает на отрезке .

При этом она изменяется на отрезке [-1;1]. Поэтому на отрезке [-1;1] существует обратная ей ф-ция, кот. обозначается x=arcsiny

Найдём производную. Пусть у=arcsinх, тогда х=siny. х’_y=cosy, тогда , таким образом

Аналогично можно ввести функцию, обратную ф-ции y=cosx. Cos является монотонной ф-цией на отрезке [0;_π]. Обратная ф-ция обозначается y=arccosx, определена на отрезке [-1;1].

Рассуждая аналогично, можно показать, что

Функция у=tgx монотонна при и определена на интервале (-∞;+∞); обратная функция y=arctg x определена на интервале (-∞;+∞).

Ф-ция у=arcctgx, обратная по отношению к ф-ции у=ctgx, имеет производную, определяемую формулой.

57. Гиперболические ф-ции

При решении многих практических задач е^х очень часто встречается в виде некоторых комбинаций, для кот. используются специальные обозначения.

- синус гиперболический х.

- косинус гиперболический х.

- тангенс гиперболический х.

- котангенс гиперболический х.

Между гиперболическими ф-циями справедливы многие соотношения, как с тригонометрическими ф-циями.

ch²x-sh²x=1

Обратные гиперболические ф-ции: arshx, archx, arthx, arcthx.

Производные от гиперболических ф-ций нетрудно найти, используя правило дифференцирования экспоненты.

56. Производные функций от lnx и ex

Y= lnx

(lnx)’=

- обратная по отношению к функции lnx. Y= . X=lny