- •1. Матрицы. Основные определения.
- •2. Линейные операции над матрицами и их свойства.
- •3. Умножение матриц. Свойства.
- •4. Транспонирование матриц. Свойства.
- •5. Перестановки.
- •6. Понятие определителя.
- •7. Частные случаи определителей.
- •10. Теоремы о разложениях определителя
- •8. Свойства определителей.
- •9. Миноры и алгебраические дополнения.
- •11. Обратная матрица
- •12. Ранг матрицы.
- •13. Линейные системы уравнений. Основные определения. Матричная запись.
- •14. Формулы Крамера
- •15. Метод Гаусса
- •16. Решение произвольных систем уравнений
- •17. Однородные системы уравнений.
- •19. Линейные операции над векторами
- •20. Линейнонезависимые системы векторов.
- •22. Декартова прямоугольная система координат.
- •21. Понятие базиса. Координаты.
- •23. Скалярное произведение двух векторов. Его физический смысл. Геометрические и алгебраические свойства.
- •24. Выражение для скалярного произведения в декартовых координатах.
- •25. Векторное произведение. Его свойства.
- •26. Выражение для векторного произведения в декартовых координатах.
- •27. Смешанное произведение трёх векторов. Его свойства и выражение в декартовых координатах.
- •28. Общее уравнение плоскости и прямой на плоскости.
- •29. Уравнение плоскости и прямой на плоскости в отрезках.
- •30. Нормальное уравнение плоскости и прямой на плоскости.
- •31. Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору.
- •32. Канонические уравнения прямой.
- •33. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.
- •34. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.
- •35. Эллипс.
- •36. Гипербола
- •38. Действительные числа, переменные велечины
- •37. Поверхности второго порядка.
- •39. Предел переменной величины.
- •41. Бесконечно малые и бесконечно большие.Теоремы.
- •42.Основные теоремы о пределах
- •43. Первый замечательный предел
- •44. Второй замечательный предел
- •45. Непрерывность ф-ции
- •46. Классификация точек разрыв
- •47. Непрерывность функции на интервале и на отрезке
- •48. Некот свойсва непрерывной ф-ции
- •53. Производная сложной ф-ции.
- •49. Сравнение бесконечно малых
- •50.Производная.
- •51. Геометрический смысл производной
- •52. Основные правила дифференцирования.
- •54. Обратная функция и её дифференцирование.
- •55.Обратные тригонометрические функции и их производные
- •57. Гиперболические ф-ции
- •56. Производные функций от lnx и ex
52. Основные правила дифференцирования.
Если производная ф-ции y=f(x) в точке x0 существует, т. е. существует предел , то f(x) называется дифференцируемой в точке х0.
Если ф-ция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала (a,b) или некоторого отрезка [a,b], то она называется дифференцируемой на данном интервале или на данном отрезке.
Теорема 1. Если ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Док-во. Дифференцируемость ф-ции f(x) в точке х0 означает существование предела . Как мы знаем, каждая ф-ция отличается от своего предела на бесконечно малое слагаемое, т. е. .
Умножаем обе части на ∆х. Имеем:
Перейдём в последнем равенстве к пределу при ∆х→0. Имеем
Это и означает непрерывность функции в точке х0.
Теорема 2. Производная от постоянной = 0. с’=0, если с=const.
Док-во. Если у=с=const, то Δу=f(x+Δx)-f(x)=с-с=0. Приращение ф-ции всегда = 0.
Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
(сf(x))’=cf’(x)
Док-во.
Теорема 4. Производная от суммы ф-ций = сумме их производных. Т. е. (U(x)+V(x))’=U’(x)+V’(x)
Док-во.
Теорема 5. Производная от произведения 2х дифференцируемых ф-ций может быть найдена по формуле (U∙V)’=U’∙V+U∙V’
Док-во. Пусть даны 2 дифференцируемые непрерывные ф-ции U(x), V(x). y= U∙V.
Дадим переменной приращение ∆х, тогда ф-ции U, V, y получат соответственно приращения ∆U, ∆V, ∆y. Очевидно, что у+∆у=(U+∆U)∙(V+∆V), тогда ∆у=(U+∆U)∙(V+∆V)-у. Тогда ∆у=UV+U∆V+V∆U+∆V∆U-UV. Разделим обе части равенства на ∆х. Тогда , перейдем к пределу при Δх→0. Имеем
Получили y’= U∙V’+U’∙V
(U∙V)’=U’∙V+U∙V’. теорема доказана.
Эту теорему можно обобщить на произвольное число сомножителей. (U1∙U2∙…∙Un)= U1’∙U2∙…∙Un+ U1∙U2’∙…∙Un+…+ U1∙U2∙…∙Un’
Теорема 6.Производная от частного 2х дифференцируемых ф-ций может быть найдена по формуле
54. Обратная функция и её дифференцирование.
Пусть дана монотонная функция y=f(x) (монотонно возрастающая или монотонно убывающая). Для определённости рассмотрим монотонно возрастающую функцию.
Тогда различным значениям аргумента х1 и х2 соответствуют различные значения функции: y1=f(х1) и у2= f(х2). Причём, это справедливо только для монотонной функции. Т.е. для монотонной функции существует взаимно однозначное соответствие между значениями х и y.
Каждому значению y соответствует единственное значение х и в данном случае формально можно считать, то переменная х является функцией от y.
X=φ(y).
Эта функция X=φ(y) называется обратной по отношению к функции y=f(x) .
Теорема: Если для функции y=f(x) существует обратная функция X=φ(y), имеющая в некоторой точке у производную φ’(y), то ф-ция y=f(x) имеет производную в соответствующей точке X=φ(y), кот. может быть найдена по формуле
Доказательство: Дадим приращение ∆у, тогда переменная х получит приращение ∆х=φ(х+∆х)-φ(х).
В силу монотонности f(x) и φ(х), ∆у≠0 и ∆х≠0.
Т.к. в этом случае
Перейдём в обеих частях этого равенства к пределу при ∆х→0, тогда и ∆у→0.
Имеем: . ч.т.д.