15. Метод Гаусса

(Метод последовательного исключения неизвестных)

Этот метод рассмотрим на примере невырожденной системы 3х уравнений из 3х неизвестных

1. Прямой ход метода Гаусса.

1) Записываем расширенную матрицу, соответствующую этой системе

=>

2) При помощи преобразований эквивалентности, приводим эту матрицу к так называемой трапециевидной форме.

=> =>

2. Обратный ход метода Гаусса.

Записываем линейную систему, соответствующую новой расширенной матрице. Эта система будет равносильна исходной.

из системы: х₃=3, подставим во 2е уравнение: 3х₂=3-3∙3=6, х₂= 2, подставим х₂ и х₃ в 1е уравнение: х₁-2+3=2, х₁=1.

16. Решение произвольных систем уравнений

Теорема1 (теорема Кронекера-Капелли). Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Теорема2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема3. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то эта система имеет бесконечное множество решений.

Пусть необходимо решить систему уравнений относительно 3 уравнений и 4 неизвестных.

Проверяем, совместна или нет.

, Ã

Найдем ранги:

М₁=1, r_A≥1

, r_A≥2

r_A=2.

Базисным минором наз-ся отличный от нуля минор, имеющий порядок, равный рангу матрицы.

Найдем ранг расширенной матрицы. Рассмотренные миноры 1,2 и 3 порядка являются также минорами матрицы Ã . Среди миноров 3-го порядка, кроме миноров М₃⁽¹⁾ и М₃⁽²⁾ есть еще один.

=> r_Ã =2

Ранги матриц равны. Согласно теореме1, эта система совместная.

r=2<4; согласно теореме3, система имеет бесконечное множество решений.

Уравнения системы, коэффициенты которых входят в базисный минор, наз-ся базисными ур-ями. Можно показать, что система из базисных уравн. равносильна исходной системе, т.е. остальные небазисные уравнения можно отбросить.

Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, наз-ся базисными неизвестными.

Остальные наз-ся свободными неизвестными.

Придадим свободным неизвестным произвольные значения: х₃=С₁, х₄=С₂, где С₁ и С₂ - произвольные постоянные.

Тогда система примет вид

, или

Мы получим систему из двух базисных уравнений относительно двух базисных неизвестных х₁ и х₂. Определитель этой системы => эта система имеет единственное решение, которое может быть найдено, например, по ф. Крамера.

Ответ:

Методика решения произв. систем линейных уравнений:

1.Находим ранги основной и расширенной матриц системы, если они не равны, система несовместна, т. е. не имеет решений.

2. Если ранги равны, находим базисный минор, выделяем базисные неизвестные.

3. Данную систему уравнений заменяем равносильной ей системой из r базисных уравнений.

4. Если число базисных неизвестных совпадает с числом всех неизвестных системы, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено, например, по формулам Крамера.

5. Если число базисных неизвестных меньше числа всех неизвестных системы, находим выражение базисных неизвестных через остальные, свободные неизвестные, придавая свободным неизв. произвольные знач-я, получаем бесконечное множество решений системы.