3. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

Определение 3. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке xD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и ее приращение в этой точке можно представить в виде: x = Ax+(x)x, где A=A(x) – не зависит от x; (x) – бесконечно малая при x0, то есть .

Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной)

Функция y = f(x) дифференцируема в точке xD(f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f ' (x). При этом

f' (x) = A.

Доказательство.

1) необходимость: Дано: y=f(x) дифференцируема в т.х.

Доказать: A=f ' (x).

Так как функция y=f(x) дифференцируема в т. х, то по определению

y = A  x + (x)  x, где (x)  0 при x 0.

Разделим это равенство на x  0:

.

Перейдем к пределу при x0:

существует, а значит f ' (x) = A.

Необходимость доказана.

2) достаточность: Дано: f ' (x) - существует

Доказать: f(x) дифференцируема.

Так как существует f ' (x)= , то по свойству предела можно записать:

, где (x)0 при x0.

Умножим это равенство на x:

y = f ' (x)  x + (x)  x  функция y=f(x), дифференцируема в точке х.

Достаточность доказана.

Теорема 2 (связь дифференцируемости с непрерывностью функции).

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке xD(f), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то ее приращение в этой точке можно представить в виде:

y=A  x+(x)  x, где A=f ' (x) и (x)0 при x0.

Найдем предел от y при x0:

 по определению 2 непрерывности функции в точке функция y = f(x) непрерывна в т. x.

Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.

4. Правила дифференцирования

Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то функция U(x)  V(x) дифференцируема в т.x и ее производная вычисляется по формуле:

(U(x)  V(x))' = (U(x))'  (V(x))'.

Доказательство: Рассмотрим функцию y = U(x)  V(x).

Тогда y=UV. Разделим на x и перейдем к пределу при x0:

так как по условию теоремы функции U(x) и V(x) дифференцируемы.

Значит, (U(x)  V(x))' = U' (x)  V' (x).

Теорема доказана.

Теорема 4. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в т. х, то функция (U(x)  V(x)) дифференцируема в т. х и ее производная вычисляется по формуле:

(U(x)  V(x))' = (U(x))' V(x) + U(x)  (V(x))'.

Доказательство. Рассмотрим функцию y = U(x)V(x). Найдем ее приращение y = (U+U)(V+V) - UV = UV + UV + VDU + DUDV -UV= = UDV + VDU + DUDV.

Разделим Dy на Dx и перейдем к пределу при Dx0:

так по условию функции U(x) и V(x) дифференцируемы, а значит , и .

Значит, (U(x) V(x))' = U’(x)  V(x) + U(x)  V' (x).

Теорема доказана.

Следствия.

а) Если U(x), V(x) и W(x) дифференцируемы в т. х, то функция (U(x)  V(x)  W(x)) дифференцируема в т. х и ее производная вычисляется по формуле:

(UV×W)' = U'×V×W + U×V'×W + U×V×W'.

б) Производная постоянной, умноженной на дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции:

(C×U(x))' = C×U' (x).

Теорема 5. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х и V(x)0, то функция дифференцируема в точке х и ее производная вычисляется по формуле: .

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдем ее приращение

Разделим y на x и перейдем к пределу при x0:

Значит, .

Теорема доказана.

Теорема 6 (производная сложной функции)

Если функция f(u) дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x, причем u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и ее производная вычисляется по формуле:

(f (u(x)))' = f '(u) ×u' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(U). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то ее приращение можно записать в виде:

, где

Разделим на Dx и перейдем к пределу при Dx0:

(если Dx0, то Du0, т.к. u(x) дифференцируема, а значит непрерывна)

Значит: (f(u(x)))' = f’(u) ×u' (x).

Теорема доказана.

Дифференцирование функции, заданной неявно

Пусть функция y= f(x) задана неявно уравнением F(x;y)=0. Дифференцируя это равенство по x по правилу дифференцирования сложной функции, находим из полученного равенства y’.

Например. Найти y', если функция y задана уравнением:

x³ + y³ - xy=0

Решение.

3x² + 3y²×y’-y - xy’=0

y’(3y² – x) = y – 3x²

Ответ: .

Производные показательной и степенной функций

Теорема 7.Степенная функция y = x^(R) дифференцируема при любом xR и справедлива формула:

(x^)' =  x^-1.

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = x^, предполагая x>0:

ln y = × ln x

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = x^ неявно. Найдем производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y':

Подставим в полученное равенство y = x^:

Теорема доказана.

Теорема 8. Показательная функция y=a^x (a>0, a 1) дифференцируема при любом xR и справедлива формула:

(a^x)' = a^x × lna

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = a^x:

lny = x lna.

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = a^x неявно. Найдем производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y': y' = y × lna.

Подставим в полученное равенство y = a^x :

(a^x)'= a^x × lna

Теорема доказана.

Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8 принимает вид:

(e^x)' = e^x × lne или (e^x)' = e^x.

Теорема 9. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U(x))^V(x) дифференцируема в точке x и справедлива формула:

((U(x))^V(x))' = (U(x))^V(x) × V' (x) lnU(x) + U' (x) × V(x) ×(U(x))^V(x)-1.

Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства y=(U(x))^V(x) по основанию e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.

Производные обратных тригонометрических функций

Теорема 10. Функция y=arcsinx дифференцируема при любом x(-1;1) и справедлива формула:

Доказательство: Функция y = arcsinx определена при x[-1;1] и область ее значений . Она монотонно возрастает на всей области ее определения, поэтому имеет обратную функцию x = siny. Уравнение x = siny можно рассматривать как неявное задание функции y = arcsinx. Найдем производную от обеих частей уравнения:

.

Выразим из полученного равенства y':

.

Но при .

Поэтому , так как .

Следовательно, получаем:

.

Теорема 11. Функция y = arcos x дифференцируема при xÎ (-1;1) и справедлива формула:

.

Теорема 12. Функция y = arctgx дифференцируема при xÎ (-:+) и справедлива формула:

.

Теорема 13. Функция y = arcсtgx дифференцируема при xÎ (-:+) и справедлива формула:

.

Теоремы 11, 12, и 13 доказываются аналогично доказательству теоремы 10.