§ 5. Дифференцирование функции одной переменной

1. Определение производной, ее геометрический и механический смысл

Пусть дана функция y = f(x), определенная на множестве D(f). Рассмотрим точку xD(f) и некоторое число x такое, чтобы точка x+xD(f). Это число Dx называется приращением аргумента x.

Определение 1. Приращением функции y = f(x) называется разность f(x+Dx) - f(x). Приращение функции y = f(x) обозначают Dy. То есть Dy = f(x+Dx) - f(x).

Определение 2. Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, если приращение аргумента Dx стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции y = f(x) обозначают: или . Поэтому можно записать:

Пример. Исходя из определения, найти производную функции у = .

Решение. Dy= f(x+ Dx) - f(x) = = .

Ответ:

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S=S(t):

Тогда DS = S(t+Dt) – S(t) – расстояние, пройденное за время Dt. Тогда средняя скорость движения:

Vcр = .

Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел Vcр при Dt 0:

V(t) = .

Значит, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t:

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки x₀(рис.5).

Рис. 5

Точка M₀(x₀;y(x₀)) – фиксированная точка графика y = f(x). Точка M(x₀+Dx;y(x₀+Dx)) при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M₀ (при этом Dx 0), то секущая линия M₀M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M₀.

Рассмотрим  M₀MA: tg_сек= , _сек = угол наклона секущей M₀M к оси Ox.

Перейдем к пределу при Dx 0:

То есть y' (x₀) = tg _кас=> частное значение производной функции y = f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к линии y = f(x) в точке M₀(x₀;y(x₀)).

Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x₀;y₀) с известным угловым коэффициентом K_кас= y'(x₀), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M₀(x₀;f(x₀)):