Математический анализ (1 семестр)

§ 1. Функция одной переменной, основные понятия

1. Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f(x) с областью определения X = D(f) и областью изменения Y = E(f).

При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.

Частным значением функции y = f(x) при фиксированном значении аргумента x = x₀ называют y₀ = f(x₀).

Графиком функции y = f(x) называют геометрическое место точек M(x;f(x)), где x  D(f) и f(x)  E(f).

2. Способы задания функции

1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.

Различают несколько способов аналитического задания функции:

а) Функция задана явно формулой y = f(x).

Например: , где D(y)=(-∞;1) (1;+∞).

б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y: F(x;y) = 0.

Например: - уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r. Если выразить из этого уравнения y через x, то получится две функции:

и ,

которые имеют область определения , а области значений этих функций будут: для первой - , для второй - .

в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t, причем и аргумент x, и функция y зависят от этого параметра:

Например: можно задать окружность с помощью параметрических уравнений:

2) Табличный способ задания функции.

Например, таблицы Брадиса задают функции y = sinx, y = cosx и другие.

3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задается графически.

3. Сложная и обратная функции

Определение 1. Пусть функция y = f(U) определена на множестве D(f), а функция U = g(x) определена на D(g), причем E(g) D(f).

Тогда функция y = F(x) = f(g(x)) называется сложной функцией (или функцией от функции или суперпозицией функций f и g ).

Определение 2. Пусть задана функция y = f(x) взаимно однозначно отображающая множество X = D(f) на множество Y = E(f).

Тогда функция x = g(y) называется обратной к функции y = f(x).

То есть любому y E(f) соответствует единственное значение x D(f), при котором верно равенство y = f(x).

Замечание. Графики функций y = f(x) и x = g(y) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x, а зависимую через y, то графики функций y = f(x) и y = g(x), будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

4. Элементарные функции

4.1 Основные элементарные функции:

y = const (постоянная функция). D(y) = R; E(y) = c.

y = (степенная функция), α R, E(y), D(y) зависят от α.

y = (показательная функция), a^a > 0, a^a ≠ 1, D(y) = R, E(y) = (0;+∞).

y = (логарифмическая функция) ), a^a > 0, a^a ≠ 1, E(y) =R, D(y) =(0;+∞).

Тригонометрические функции:

y = sinx, D(y) = R, E(y)= .

y = cosx, D(y) = R, E(y)= .

y = tgx, D(y) = , E(y) = R.

y = ctgx, D(y) = , E(y) = R.

Обратные тригонометрические функции:

y = arcsinx, D(y) = , E(y) = .

y = arccosx, D(y) = , E(y) = .

y = arctgx, D(y) = R, E(y) = .

y = arcctgx, D(y) = R, E(y) = .

Графики обратных тригонометрических функций:

y = arcsinx Рис. 1	y = arccosx Рис. 2
y = arctgx Рис. 3	y = arcctgx Рис. 4

4.2 Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: - элементарная функция.