§ 2. Предел функции

1. Предел функции в конечной точке x0

Определение 1. Окрестностью точки x₀ называется любой интервал, содержащий точку x₀:

.

Определение 2.  - окрестностью точки x₀ называется интервал ( - ; + ), длина которого 2 , симметричный относительно x₀:

Определение 3. Проколотой - окрестностью точки x₀ называется - окрестность точки x₀ без самой точки x₀:

Определение 4. Число А называется пределом функции f(x) при x  x₀, если для любого наперед заданного малого числа ε > 0 существует такое малое число , что для любого x, принадлежащего D(f) и проколотой δ-окрестности точки x₀, то есть , выполняется неравенство: .

Итак: и .

2. Односторонние пределы

Определение 5. Число А называется правым (левым) пределом функции y = f(x) в точке x₀, если для любого малого числа ε > 0 найдется другое малое число такое, что для всех и лежащих в правой (левой) окрестности точки x₀, то есть ( ), справедливо неравенство: .

При этом используют следующие обозначения:

- для правого предела.

- для левого предела.

Замечание 1. Если f(x) имеет в точке x₀ предел равный А , то существуют и и справедливо равенство:

= =А.

Замечание 2. Если f(x) имеет в точке x₀ правый и левый пределы, равные между собой, то в точке функция f(x) имеет предел равный числу:

А= = .

Замечание 3. Если f(x) имеет в точке x₀ правый и левый пределы, но они не равны между собой, то в точке x₀ функция f(x) не имеет предела.

3. Предел функции на бесконечности

Определение 6. Окрестностью бесконечно удаленной точки называют множество значений x, удовлетворяющих неравенству: , где N достаточно большое положительное число.

Определение 7. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого малого числа ε >0 существует другое большое число N=N(ε)>0 такое, что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство: .

Этот факт записывают:

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 8. Функция (x) называется бесконечно малой при x  x₀, или в точке , если предел (x) при x , равен нулю: .

Определение 9. Функция f(x) называется бесконечно большой в точке , если предел f(x) при x  x₀, равен ∞. Это значит, что для любого сколь угодно большого числа M > 0 существует малое число δ=δ(M) > 0 такое, что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство f(x) > M.

Определение 10. Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве XD(f), если существует такое число M>0, что для любого xX, выполняется неравенство: .

Основные свойства бесконечно малых функций

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в этой точке . То есть: если - бесконечно малые функции в точке , то - бесконечно малая функция в этой точке .

2) Произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке есть бесконечно малая функция в точке . То есть: если - бесконечно малые функции в точке , то - бесконечно малая функция в этой точке .

3) Произведение бесконечно малой функции в точке на ограниченную функцию в некоторой окрестности точки есть бесконечно малая функция в точке , то есть, если α(x) бесконечно малая функция в точке и f(x) ограниченная в некоторой окрестности точки , то α(x)f(x) – бесконечно малая функция в точке .

Следствие из свойства 3). Произведение постоянной на бесконечно малую функцию в точке есть бесконечно малая функция в точке . То есть: если α(x) – бесконечно малая функция в точке , то с×α(x)- бесконечно малая функция в точке x₀.

Теорема (о связи между бесконечно малой функцией в точке и бесконечно большой в точке )

Если функция f(x) является бесконечно большой в точке , то функция является бесконечно малой в точке .

(Верно и обратное утверждение)