1. Интегралы с бесконечными пределами

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на промежутке [a;+) или (-;a] или (-;+).

Определение 1. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от f (x) на бесконечном промежутке [a;+), обозначается и в этом случае говорят, что интеграл сходится. Если не существует или равен , то говорят, что интеграл расходятся.

Аналогично определяются интегралы:

Если пределы конечные, то соответствующий интеграл считают сходящимся, а если хотя бы один из пределов не существует или бесконечный, то интеграл считают расходящимся.

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл:

Так как получили конечное число, то интеграл сходится и равен .

Ответ:

2. Интегралы от разрывных функций

1) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на промежутке [a;b], а в точке x=b либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x=b будем называть особой точкой функции f (x).

Определение 2. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом . При этом говорят, что несобственный интеграл сходится и пишут равенство:

Если конечный предел не существует или он бесконечный, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

2) Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на промежутке [a;b], а в точке x=a либо не определена, либо имеет разрыв. Такую точку x=a называют особой точкой функции f (x).

Определение 3. Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом:

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится и пишут равенство:

Если конечный предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Замечание. Если функция f (x) имеет разрыв в некоторой точке x=c внутри отрезка [a;b], то по определению полагают:

при условии, что оба предела в правой части существуют, и  и  не зависят друг от друга. Этот интеграл также называют несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a;b] и обозначается символом:

Сходимость или расходимость такого интеграла зависит от существования или не существования конечного предела.

Пример 2. Исследовать на сходимость: