4.2 Основные понятия системы с распределенными параметрами

СРП

Практически все природные явления и функции могут быть описаны следующими уравнениями:

- уравнением теплопроводности;

- уравнением Пуассона;

- уравнением колебания стержня (продольное и поперечное);

- уравнением колебания мембраны.

Основной характеристикой СРП является континуальная передаточная функция. Она показывает отношение выходной функции к входной (по Лапласу) в привязке к конкретной точке.

В искомой задаче выходная функция будет обозначаться буквой Q(x, t), где x – трехмерная переменная в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.

f(x, t ) – входная координата по среде, зависящая от трехмерной координаты x и времени t.

Основное уравнение задачи записывается в виде:

(21)

где l – так называемый оператор дифференциального уравнения – это формула преобразования выходной величины Q.

В каждой задаче определяются граничные или краевые условия

(22)

где Г – оператор граничных или краевых условий;

g – входное воздействие на границе в каждый момент времени.

Для того, чтобы решить задачу во всей области координат, необходимо знать ее значения в каждой точке по границе области.

Начальные условия для задачи записываются в виде:

(23)

где N – оператор начальных условий;

Q₀ (x) – значение искомой функции в заданный момент времени t₀ в каждой точке пространства x.

Получили систему:

(24)

Необходимо знать:

1. значение функции на границе в каждый момент времени;

2. значение в каждой точке области в момент времени t₀.

В указанном виде (24) система практически не разрешима. Вводится в рассмотрение так называемая стандартная форма записи (24). Она подразумевает нулевые граничные и начальные условия. Ее вид:

(25)

где w(x, t) – стандартизующая функция.

При Г=0, N=0 - входное воздействие на систему при нулевых граничных и начальных условиях и первая из трех основных функций, которая понадобится при решении (из справочника).

Второй функцией является функция Грина (импульсная переходная функция, функция влияния, функция источника, функция веса).

Функцией Грина называется функция источника, которая равна выходному сигналу

,

при ,

где - пространственная  - функция по координатам x, y, z;

-  - функция по времени;

x – координаты входного возмущения;

 - координаты точки отклика от удара.

С учетом этого стандартная задача перепишется в виде:

(26)

Где функция Грина от G(x, t) берется из справочника и является второй основной характеристикой.

Зная эти две характеристики можно найти выходную функцию по следующему выражению:

(27)

Если задача статическая, то есть отсутствует уравнение времени t, то есть можно записать в виде:

(28)

Стандартная форма записи будет выглядеть в виде:

(29)

при однородных (нулевых) граничных условиях.

Функция Грина такой задачи удовлетворяет системе уравнений:

(30)

где x – координаты возмущения;

 - координаты отклика.

Решение задачи в этом случае выглядит следующим образом

. (31)

Бывают задачи, в которых отсутствуют пространственные координаты, то есть процесс во времени. В таком случае задача записывается следующим образом:

(32)

Стандартная форма записи:

(33)

Функция Грина:

(34)

Решение такой задачи имеет вид:

(35)

Таким образом, для решения этой задачи принципиально достаточно трех формул, то есть по двум справочным функциям (нормирующей и Грина) можно всегда определить выходную функцию Q.

Для цели управления и синтеза системы управления, исходя из ТАУ, необходимо знать передаточную функцию. В теории СРП вводится понятие так называемой континуальной передаточной функции, то есть точечной передаточной функции, в пределах области D, когда возмущение подается на среду в точке x функциями: и , а реакция регистрируется в точке .

Континуальная передаточная функция выражается следующим образом:

(36)

По сути, континуальная передаточная функция – это преобразование Лапласа функции Грина, то есть при этих функциях континуальная передаточная функция является производной и всегда может определиться по функции Грина.

Таким образом, для решения задачи по СРП необходимо знать две функции: нормирующую функцию и функцию Грина.

Теория СРП включает так называемый структурный метод ТАУ, который подразумевает операции с распределенными блоками:

1. блоки соединяются последовательно;

2. блоки соединяются параллельно;

3. включение второго блока в обратную связь.

В связи с этим вводится понятие операторного изображения выходной величины. В теории распределенных блоков выходная величина определяется следующим образом:

, (37)

где - изображение по Лапласу выходной величины решаемой задачи;

- континуальная передаточная функция;

- изображение по Лапласу нормирующей функции.

Если удается из нормирующей функции выделить в явном виде компоненту входной координаты с помощью специальных средств или методов

, (38)

то уравнение (139) перепишется в виде:

(39)

С помощью двух способов (коэффициент разложения и коэффициент приближения) по возможности выносится входное возмущение (по Лапласу) за знак интегрирования, получим:

(40)

Полученное выражение (40) – отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входного возмущения, как интеграл по области D континуальных функций, называется интегральной передаточной функцией (функция Власова В.В.).

5 РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК СЛЕДЯЩЕГО ПРИВОДА

5.1 Выбор схемы управления и элементов привода

Использование цифрового вычислительного устрой­ства для управления электроприводом робота позволяет исключить из разрабатываемой конструкции датчик ско­рости, построив контур регулирования по скорости за счет дифференцирования сигнала с выхода ДУ. Таким образом, требуемый закон регулирования может быть реализован цифровым ПИД-регулятором. Податливость в этом случае равна нулю. Однако при использовании ПИД-регулятора в системе с обратной связью по положению при ступенчатом изменении установки происходит ступен­чатое изменение ошибки рассогласования e_s, что приводит к возникнове­нию на выходе дифферен­цирующего звена ПИД-регулятора импульсного сигнала большого значе­ния и не обеспечивает плавное управление приво­дом робота, вызывая не­допустимые скоростные перегрузки механических узлов робота.

Для устранения ука­занного недостатка следует формировать установку управления приводом по скоро­сти с последующим ее интегрированием. Структурная схема приводится к схеме указанной в приложении А. Она соответствует систе­ме управления с обратной связью по скорости, в которой на вход подается сигнал, пропорциональный скорости движения по траектории, и при этом на входе ПИД-регу­лятора формируется сигнал, пропорциональный ошибке по положению.

Для робота «Электроника НЦТМ-30» выберем дви­гатель постоянного тока, который наиболее полно удовле­творяет указанным требованиям при широтно-импульсном управлении. Оценка угла поворота, скорости и ускорения вала исполнительного двигателя необходима прежде всего для выбора мощности двигателя, так как при заданном ха­рактере нагрузок мощность определяется именно этими параметрами.

Оценка моментов нагрузки на исполнительной оси производится по формуле

(41)

где — коэффициент пропорциональности, связываю­щий момент и частоту

вращения;

— коэффициент про­порциональности, связывающий момент и угол.

При этом требуемый пусковой момент должен удовле­творять условию:

(42)

где i — передаточное отношение редуктора; η— КПД редуктора от исполни- тельной оси до вала двигателя.

Первое слагаемое формулы (42) представляет со­бой динамический момент, обусловленный приведенным к исполнительной оси моментом инерции всех подвижных частей. Без учета редуктора имеем:

(43)

где J_дв — момент инерции двигателя;

J_н — момент инер­ции нагрузки всех подвижных частей манипулятора.

Слагаемое — момент, присущий исполнитель­ным органам, движущимся в вязкой жидкости или га­зовой среде. Момент создается действием пружин, некоторыми кинематическими связями. Момент тре­ния Мт обычно имеет постоянную величину и направлен навстречу движению:

(44)

Статический момент сопротивления М_ст не зависит от характеристик движения и может создаваться, например, грузом манипулятора.

Расчет максимального момента по формуле (41) дает завышенный результат, так как вероятность совпа­дения всех перечисленных моментов по модулю и знаку мала. Номинальный момент в первом приближении оценивают как среднеквадратичный:

(45)

Для роботов составляющие k0 и k₀0, как правило, отсутствуют.

Мощность двигателя, Вт, на выходной оси можно определить по формуле:

(46)

где 1,2-1,5 — коэффициент, учитывающий превышение действующего на двига- тель реального момента над ста­тическим;

М_ст + М_т — статический момент нагрузки дви­гателя, Н·м;

n — максимальная частота вращения ис­полнительного вала, об/мин.

Вопрос о выборе вида механической и регулировоч­ных характеристик двигателей рассмотрен подробно в [6].

Механическая характеристика должна быть такой, чтобы во всех режимах работы момент М_дв, развиваемый двигателем, был больше статического момента нагрузки; она должна обеспечивать выполнение требований, предъ­являемых к качеству привода, в частности быть жесткой и линейной. Жесткость (жесткая механическая характе­ристика — характеристика, у которой при значительном изменении момента частота вращения почти не изме­няется) должна соответствовать требуемой ошибке от момента сопротивления на валу и параметрам переда­точной функции. Линейность механической характерис­тики обеспечивает постоянство передаточной функции двигателя во всем диапазоне режимов работы двигателя.

Основным требованием к регулировочным характерис­тикам является их линейность во всем диапазоне изме­нения управляющего сигнала, что обеспечивает постоян­ство коэффициента передачи по управляющему сигналу. Кроме того, необходимо, чтобы регулировочная харак­теристика обеспечивала заданную кратность регулирова­ния частоты вращения выходного вала исполнительного двигателя и устойчивую работу при минимальных ско­ростях управления.

Для улучшения механических и регулировочных характеристик в электроприводах применяют обратные связи.

Исходя из сформулированных требований для робота «Электроника НЦТМ-30», выбраны следующие двига­тели:

• в трех приводах поворота кисти используются три двигателя постоянного тока ДПМЗО-Н2-04 [14];

• в приводах локтя, плеча и механизма поворота — двигатели постоянного тока ДПР72-Н2-02 [14].

К чувствительным элементам предъявляются следующие требования: линей­ность и однозначность статической характеристики, вы­сокая чувствительность (крутизна) и разрешающая спо­собность; стабильность характеристик во времени, отсут­ствие влияния нагрузки на статические характеристики, минимальная инерционность; минимальное влияние внеш­них факторов (температуры, вибраций); устойчи­вость к химическим воздействиям; простота и техноло­гичность конструкции; взаимозаменяемость (повторяе­мость характеристик); удобство монтажа и обслужива­ния. Выбор типа чувствительного элемента определяется требованиями по точности системы, ее назначением и условиями эксплуатации.

Наиболее применимыми датчиками скорости и поло­жения в роботах с цифровыми электроприводами явля­ются фотоэлектрические датчики по принципу счета им­пульсов. Они обладают всеми указанными требованиями. В роботе «Электроника НЦТМ-30» используются фото­электрические датчики, конструктивно расположенные на валу двигателей, с разрешающей способностью 1024 (k_д = 1024) импульса на один оборот двигателя, которая выбрана исходя из требуемой точности позиционирова­ния робота.