Символьные преобразования

С помощью символьного преобразования в математическом пакете Mathcad можно выполнять аналитические преобразования выражений. При этом результатом вычислений является некоторое другое выражение (например, упрощение), либо полное решение уравнений и систем. Иначе говоря, при таком подходе можно получить нечисловой результат.

При выполнении символьных преобразований конкретные значения переменных, если таковые имеются, – игнорируются. Переменные рассматриваются как неопределенные параметры.

Вычисления в пакете Mathcad

Приближенное вычисление интеграла с помощью пакета MathCAD

Чтобы вычислить определённый интеграл, приведённый выше, нужно записать интеграл, подынтегральную функцию и пределы интегрирования.

Алгебраические уравнения и системы

Решение алгебраического уравнения в пакете Mathcad

Для решения одного уравнения с одним неизвестным в пакете Mathcad используются функции и , где – функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение, которое возвращает скалярное значение, – имя переменной, относительно которой ищется решение уравнения.

Функция root(f(x),x) возвращает значение x при котором f(x)=0. Для нахождения корня Mathcad использует численный метод. Поэтому перед использованием функции root(f(x),x) переменной x необходимо присвоить начальное значение. Если функция f(x) имеет несколько корней, то найденное значение корня будет зависеть от начального приближения для переменной x. Будет найдено то, значение корня, в окрестности которого задано начальное приближение.

Пример. Найти все корни уравнения на отрезке [-1.5, 1.5]

Иногда удобнее задавать не начальное приближение к корню, а интервал , внутри которого корень заведомо находится. В этом случае следует использовать функцию с четырьмя аргументами, а присваивать начальное значение не нужно, как показано ниже.

При использовании функции необходимо помнить следующее:

• внутри интервала не должно находиться более одного корня. Иначе будет заранее неизвестно какой именно из корней найден;

• значения функций и должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

Решение алгебраических уравнений с помощью функции polyroots

Функция polyroots(a) находит все корни алгебраического уравнения вида

Решить уравнение с использованием функции polyroots()

1. Определяем вектор коэффициентов

2. Формируем вектор корней с использованием функции polyroots()

3. Получаем результат

Решение систем линейных уравнений в пакете Mathcad

Система линейных уравнений n- го порядка имеет вид:

(1)

Существует много различных методов решения системы (1). Это и метод Гаусса, метод простых итераций (требующий довольно громоздких вычислений) и т.д. Мы же рассмотрим, как можно решить данную задачу средствами Excel и Mathcad.

Процедура решения данной системы в пакете Mathcad имеет следующий вид.

Вначале задаются начальные значения для всех переменных системы:

Затем пишется ключевое слово:

Given

И записываются уравнения системы:

После этого находится решение системы уравнений в виде вектора V значений соответствующих переменных:

V:= Find(x₁,x₂,...,x_n)

Здесь Find(x₁,x₂,...,x_n) - функция, которая возвращает решение системы уравнений в виде вектора значений соответствующих переменных если оно существует.

При записи системы уравнений, после ключевого слова Given, при необходимости можно указывать ограничения на возможные значения переменных, используя символы > и >. При этом недопустимы ограничения со знаком и неравенства вида a<b<c.

Если система уравнений является нелинейной, то найденное решение может быть не единственным и зависеть от начальных значений переменных.

Пример. Решить систему уравнений:

Решение систем уравнений с помощью функции Minerr()

Функция Minerr() использует тот же самый алгоритм, что и функция Find(). Но, если в результате поиска решения не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr() возвращает это приближение.

Решение систем линейных уравнений матричным способом

Для решения систем линейных уравнений можно наряду с рассмотренными выше способами можно воспользоваться их векторно-матричным представлением.

Обозначим матрицу коэффициентов системы (1) через А:

А вектор свободных членов через В:

Тогда вектор неизвестных будет X:

В матричном виде система уравнений будет выглядеть так:

Отсюда получаем, что при условии

Значение X может быть легко вычислено с помощью пакета Mathcad.

Пример. Решить систему линейных уравнений:

Решение систем линейных уравнений с помощью функции lsolve(A,B)

В Mathcad имеется еще одна встроенная функция lsolve(A,B), которая служит для решения системы линейных уравнений. Далее приведен пример решения рассматриваемой системы с помощью этой функции.