38. Статистические критерии различий. Параметрические и непараметрические критерии.

Статистический критерий — строгое математическое правило, по которому принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

*Критерии значимости. Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения: H_0: quad a=a_0 — нулевая гипотеза. H_1: quad a>a_0 quad (a или a eq a_0 — конкурирующая гипотеза.

*Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверку факта о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать, как критерии значимости.

*Критерии на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт взаимного соответствия их законов распределения (подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном (дисперсионном) анализе для определения наличия зависимостей.

Непараметрические критерии

Группа статистических критериев, которые не включают в расчёт парметры вероятностного распределения и основаны на оперировании частотами или рангами.

* Q-критерий Розенбаума

* U-критерий Манна-Уитни

* Критерий Колмогорова

* Критерий Уилкоксона

Параметрические критерии

Группа статистических критериев, которые включают в расчет параметры вероятностного распределения признака (средние и дисперсии).

* t-критерий Стьюдента

* Критерий Колмогорова

* Критерий отношения правдоподобия

* Критерий Пирсона

Параметрические критерии:

1. Критерий Фишера (F-критерий, φ*-критерий, критерий наименьшей значимой разности) — апостериорный статистический критерий, используемый для сравнения дисперсий двух вариационных рядов, то есть для определения значимых различий между групповыми средними в установке дисперсионного анализа.

2. t-критерий Стьюдента - общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на сравнении с распределением Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

Алгоритм применения -критерия Стьюдента для сравнения оценки средних величин двух выборок

1. Записать вариационный ряд результатов X экспериментальной группы.

2. Записать вариационный ряд результатов Y контрольной группы.

3. Найти выборочные средние двух выборок x и y.

4. Найти выборочные дисперсии и .

5. Вычислить эмпирическое значение критической статистики

Определить по таблице критическое значение для соответствующего уровня значимости и данного числа степеней свободы .

Если , то различия между средними значениями экспериментальной и контрольной групп существенны на данном уровне значимости.

Особенности использования t-критерия Стьюдента. Наиболее часто t -критерий используется в двух случаях. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух независимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и опытная группа, состоящая из разных пациентов, количество которых в группах может быть различно.

Во втором же случае используется так называемый парный t-критерий, когда одна и та же группа объектов порождает числовой материал для проверки гипотез о средних. Поэтому эти выборки называют зависимыми, связанными. Например, измеряется содержание лейкоцитов у здоровых животных, а затем у тех же самых животных после облучения определенной дозой излучения. В обоих случаях должно выполняться требование нормальности распределения исследуемого признака в каждой из сравниваемых групп.

Критерий для независимых выборок.

Цель, предположения. t-критерий является наиболее часто используемым методом обнаружения различия между средними двух выборок. Например, t-критерий можно использовать для сравнения средних показателей группы пациентов, принимавших определенное лекарство, с контрольной группой, где принималось безвредное лекарство. Теоретически, t-критерий может применяться, даже если размеры выборок очень небольшие (например, 10; некоторые исследователи утверждают, что можно исследовать выборки меньшего размера), и если переменные нормально распределены (внутри групп), а дисперсии наблюдений в группах не слишком различны. Предположение о нормальности можно проверить, исследуя распределение или применяя какой-либо критерий нормальности. Если условия применимости t-критерия не выполнены, следует использовать непараметрические альтернативы t-критерия.

Расположение данных. Чтобы применить t-критерий для независимых выборок, требуется, по крайней мере, одна независимая (группирующая) переменная (например, Пол: мужчина/женщина) и одна зависимая переменная (например, тестовое значение некоторого показателя, кровяное давление, число лейкоцитов и т.д.). С помощью специальных значений независимой переменной (эти значения называются кодами, например, мужчина и женщина) данные разбиваются на две группы. Можно произвести анализ следующих данных с помощью t-критерия, сравнивающего среднее WCC для мужчин и женщин.

	ПОЛ	WCC
наблюдение 1 наблюдение 2 наблюдение 3 наблюдение 4 наблюдение 5	мужчина мужчина мужчина женщина женщина	111 110 109 102 104
	среднее WCC для мужчин = 110 среднее WCC для женщин = 103

Критерий для зависимых выборок.

Внутригрупповая вариация. Cтепень различия между средними в двух группах зависит от внутригрупповой вариации (дисперсии) переменных. В зависимости от того, насколько различны эти значения для каждой группы, "грубая разность" между групповыми средними показывает более сильную или более слабую степень зависимости между независимой (группирующей) и зависимой переменными. Например, если среднее WCC (число лейкоцитов - White Cell Count) равнялось 102 для мужчин и 104 для женщин, то разность внутригрупповых средних только на величину 2 будет чрезвычайно важной, когда все значения WCC мужчин лежат в интервале от 101 до 103, а все значения WCC женщин - в интервале 103 - 105. В этом случае можно довольно хорошо предсказать WCC (значение зависимой переменной) исходя из пола субъекта (независимой переменной). Однако если та же разность 2 получена из сильно разбросанных данных (например, изменяющихся в пределах от 0 до 200), то этой разностью вполне можно пренебречь. Таким образом, можно сказать, что уменьшение внутригрупповой вариации увеличивает чувствительность критерия.

Цель. t-критерий для зависимых выборок очень полезен в тех довольно часто возникающих на практике ситуациях, когда важный источник внутригрупповой вариации (или ошибки) может быть легко определен и исключен из анализа. Например, это относится к экспериментам, в которых две сравниваемые группы основываются на одной и той же совокупности наблюдений (субъектов), которые тестировались дважды (например, до и после лечения, до и после приема лекарства). В подобных экспериментах значительная часть внутригрупповой изменчивости (вариации) в обеих группах может быть объяснена индивидуальными различиями субъектов. Заметим, что на самом деле, такая ситуация не слишком отличается от той, когда сравниваемые группы совершенно независимы, где индивидуальные отличия также вносят вклад в дисперсию ошибки. Однако в случае независимых выборок, вы ничего не сможете поделать с этим, т.к. не сможете определить (или "удалить") часть вариации, связанную с индивидуальными различиями субъектов. Если та же самая выборка тестируется дважды, то можно легко исключить эту часть вариации. Вместо исследования каждой группы отдельно и анализа исходных значений, можно рассматривать просто разности между двумя измерениями (например, "до приема лекарства" и "после приема лекарства") для каждого субъекта. Вычитая первые значения из вторых (для каждого субъекта) и анализируя затем только эти "чистые (парные) разности", вы исключите ту часть вариации, которая является результатом различия в исходных уровнях индивидуумов. Именно так и проводятся вычисления в t-критерии для зависимых выборок. В сравнении с t-критерием для независимых выборок, такой подход дает всегда "лучший" результат (критерий становится более чувствительным).

Предположения. Теоретические предположения t-критерия для независимых выборок относятся также к критерию для зависимых выборок. Это означает, что попарные разности должны быть нормально распределены. Если это не выполняется, то можно воспользоваться одним из альтернативных непараметрических критериев.

Расположение данных. Вы можете применять t-критерий для зависимых выборок к любой паре переменных в наборе данных. Заметим, применение этого критерия мало оправдано, если значения двух переменных несопоставимы. Например, если вы сравниваете среднее WCC в выборке пациентов до и после лечения, но используете различные методы вычисления количественного показателя или другие единицы во втором измерении, то высоко значимые значения t-критерия могут быть получены искусственно, именно за счет изменения единиц измерения. Следующий набор данных может быть проанализирован с помощью t-критерия для зависимых выборок.

	WCC до	WCC после
наблюдение 1 наблюдение 2 наблюдение 3 наблюдение 4 наблюдение 5 ...	111.9 109 143 101 80 ...	113 110 144 102 80.9 ...
	средняя разность между WCC "до" и "после" = 1

Средняя разность между показателями в двух столбцах относительно мала (d=1) по сравнению с разбросом данных (от 80 до 143, в первой выборке). Тем не менее t-критерий для зависимых выборок использует только парные разности, "игнорируя" исходные численные значения и их вариацию. Таким образом, величина этой разности 1 будет сравниваться не с разбросом исходных значений, а с разбросом индивидуальных разностей, который относительно мал: 0.2 (от 0.9 в наблюдении 5 до 1.1 в наблюдении 1). В этой ситуации разность 1 очень большая и может привести к значимому t-значению.

Непараметрические критерии:

1. Q-критерий Розенбаума — простой непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно.

Мощность критерия не очень велика. В том случае, когда если он не выявляет различий, можно обратиться к другим статистическим критериям, например, к U-критерию Манна-Уитни или критерию φ* Фишера.

Данные для применения Q-критерия Розенбаума должны быть представлены хотя бы в порядковой шкале. Признак должен измеряться в значительном диапазоне значений (чем более значительном – тем лучше).

Ограничения применимости критерия

1. В каждой из выборок должно быть не менее 11 значений признака.

2. Объемы выборок должны примерно совпадать.

   1. Если объемы выборок меньше 50, то абсолютная величина разности n₁ (количество единиц в первой выборке) и n₂ (количество единиц во второй выборке) не должна быть больше 10.

   2. Если объемы выборок между 50 и 100, то абсолютная величина разности n₁ и n₂ не должна быть больше 20;

   3. Если объемы выборок больше 100, то допускается, чтобы одна из выброк превышала другую не более чем в 1,5 – 2 раза.

3. Диапазоны значений признака в двух выборках не должны совпадать между собой.

Использование критерия

Для применения Q-критерия Розенбаума нужно произвести следующие операции.

1. Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени возрастания признака; принять за первую выборку ту, значения признака в которой предположительно выше, а за вторую – ту, где значения признака предположительно ниже.

2. Определить максимальное значение признака во второй выборке и подсчитать количество значений признака в первой выборке, которые больше его (S₁).

3. Определить минимальное значение признака в первой выборке и подсчитать количество значений признака во второй выборке, которые меньше его (S₂).

4. Рассчитать значение критерия Q = S₁ + S₂.

5. По таблице определить критические значения критерия для данных n₁ и n₂. Если полученное значение Q превышает табличное или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение Q меньше табличного, принимается нулевая гипотеза.

Различия между двумя выборками достоверны с вероятностью 95% при p=0,05 и с вероятностью 99% при p=0,01. Для выборок, в которых больше чем 26 элементов, критические значения Q принимаются равными 8 (при p=0,05) и 10 (при p=0,01).

2. U-критерий Манна-Уитни (англ. Mann-Whitney U test) — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Позволяет выявлять различия в значении параметра между малыми выборками. Другие названия: критерий Манна-Уитни-Уилкоксона (англ. Mann-Whitney-Wilcoxon, MWW), критерий суммы рангов Уилкоксона (англ. Wilcoxon rank-sum test) или критерий Уилкоксона-Манна-Уитни (англ. Wilcoxon-Mann-Whitney test).

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

Ограничения применимости критерия

1. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.

2. В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа - разные) или таких совпадений должно быть очень мало.

Использование критерия

Для применения U-критерия Манна-Уитни нужно произвести следующие операции.

1. Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг. Общее количество рангов получится равным: N = n₁ + n₂, где n₁ — количество единиц в первой выборке, а n₂ — количество единиц во второй выборке.

2. Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящие соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно — на долю элементов второй выборки. Определить большую из двух ранговых сумм (T_x), соответствующую выборке с n_x единиц.

3. Определить значение U-критерия Манна-Уитни по формуле: .

4. По таблице для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных n₁ и n₂. Если полученное значение U меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение U больше табличного, принимается нулевая гипотеза. Достоверность различий тем выше, чем меньше значение U.

5. При справедливости нулевой гипотезы критерий имеет матожидание и дисперсию и при достаточно большом объёме выборочных данных (n₁ > 19,n₂ > 19) распределён практически нормально.

3. Критерий Т Вилкоксона для сопоставления двух показателей испытуемых.

Алгоритм применения

1. Составить список испытуемых.

2. Вычислить разность между индивидуальными значениями во 2-м и 1-м замерах ("после" - "до"). Определить, что будет считаться "типичным" сдвигом, и сформулировать гипотезу.

3. Найти абсолютные величины разностей.

4. Проранжировать абсолютные величины разностей, начиная с меньшего значения.

5. Отметить ранги, соответствующие сдвигам в "нетипичном" направлении, подсчитать сумму этих рангов .

6. Определить критические значения для данного (по таблице прил. 10). Если , то сдвиг в "типичную" сторону по интенсивности достоверно преобладает.

7. Критерий применяется для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых.

12 участников тренинга партнерского общения дважды ("до" и "после") оценивали у себя уровень владения аргументацией. Получены данные по 10-балльной шкале.

8.

9.

• попадает в зону неопределенности, следовательно, отвергается.

4. G – КРИТЕРИЙ   ЗНАКОВ

Назначение   

G-критерий знаков применяется при выяснении направ­ления сдвига при переходе от первого измерения ко второму на одной и той же выборке испытуемых.

 Ограничения

Количество измерений в каждом из двух замеров не менее 5 и не более 300, т.е. 5 ≤ n1 ≤ 300  и  5 ≤ n2 ≤ 300.  

Алгоритм использования

 

1.            проверить выполнение ограничений;

2.            занести данные измерений в таблицу:

Испытуемые	11	22	33	… n
Значения «до воздействия»	.	.	.	… .
Значения «после воздействия»	.	.	.	… .
Сдвиг («после» - «до»)	.	.	.	….

     Сдвиг количественно не подсчитывается, ставится просто, знак разности (« + » или « - »), когда из значения «после воздействия» вычитается значение «до воздействия». Если разность эта равна нулю, то в таблице пишут нуль.

3.            подсчитать количество нулевых реакций n0 и вычесть их из объема вы­борки п. Новый объем выборки найти по формуле: n = n - n0;

4.            определить, каких сдвигов больше: положительных или отрицатель­ных. Считать «типичными» те сдвиги, которых больше.  А «нетипичны­ми» - те, которых меньше;

5.            сформулировать гипотезы:

           Но: Сдвиг в типичную сторону является случайным;

          H1: Сдвиг в типичную сторону является неслучайным.

6.            подсчитать количество «нетипичных» сдвигов и найти эмпирическое значение G-критерия: G эмп. равно количеству «нетипичных» сдвигов;

7.            по таблице 1 приложения по значению n найти  G кр. (p ≤ 0,05) и G кр. (p ≤ 0,01), изобразить все полученные значения на оси значимости.

зона значимости                          зона неопределенности                зона не значимости

                             G кр. (p  ≤  0,01)                             G кр. (p ≤ 0,05)

 Если G  эмп.  ≤  G кр.  на некотором уровне значимости, то H0 отвергается, а H1 принимается на этом уровне значимости.

Если G  эмп.  ›  G кр.  на некотором уровне значимости, то H0 принимается на том же уровне значимости. Чем меньше G эмп., тем более вероятно, что сдвиг в типичном направлении статистически достоверен.