Задание № 1-4.

1. Вычислить выражения:

2. Вычислить i ⁷⁷.

3. Решить систему:

4. Доказать, что два мнимых числа сопряжены тогда и только тогда,

когда их произведение и их сумма - действительные числа.

5. Найти комплексные числа, сопряженные своему квадрату.

6. Найти тригонометрическую форму чисел:

7. Вычислить выражения:

8. Вычислить

Ответы

1a. 4. Док-во. 5.

6.

Задание № 2-5.

1. Вычислить:

2. Определить сумму первообразных корней из 1: а) 24-ой степени,

б) 30-ой степени.

3. Число    первообразный корень 20-ой степени из 1. Первообразным какой степени из 1 является  ⁶, если

4. При n  Z вычислить

Ответы.

 Вариант 2-5.

1а. . 2a. 0. 2б. 1.

1б. 3. 10.

1в.

1г. 4.

Задание № 3-3.

1. Решить системы уравнений методом Гаусса:

а) б)

в) г)

д) е)

2. Исследовать системы и найти общее решение в зависимости от значений параметров:

а) б)

в) г)

Ответы.

1а. x₁ = 2, x₂ = 1, x₃ = 4, x₄ = 3. 1г. x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 2.

1б. Решений нет. 1д. х₁ = x₂ = x₃ = x₄ = 0.

1в. x₁ = 1/2(1  i)x₄, x₂ = x₃ = 0. 1e. x₁ = 1/17(3x₃  13x₄ ),

x₂ = 1/17(19x₃  20x₄ ).

2a.  = 1: система несовместна,

   1:

2б.   1, 3: x₁ = x₂ = x₃ = x₄ =1/  + 3,   = 1: x₁ =1  x₂  x₃  x₄ , 

 =  3: система несовместна.

2в.   попарно различны  ненулевых решений нет, если есть равные пары, решение зависит от одного параметра, при   от двух

параметров.

2г. Если а, b, c  различны, x = abc, y = (ab + bc + ac), z = a + b + c,

если среди a, b, c есть пара равных, решение зависит от одного параметра, если a = b = c, решение зависит от двух параметров.

Задание № 4-2.

1. Вычислить определители:

;

2. Пользуясь теоремой Крамера, решить системы:

3. Перемножить перестановки в указанном и обратном порядке.

4. Найти обратную перестановку: .

5. Определить число инверсий в последовательностях:

а) 2, 3, 5, 4, 1; б) 6, 3, 1, 2, 5, 4; в) 1, 3, 5, 7, ... , 2n-1, 2, 4, 6, 8, ... , 2n.

6. Определить четность перестановок:

7. С какими знаками входят данные произведения в определители соответствующих порядков ?

8. Выписать все слагаемые, входящие в состав определителя 4-го порядка со знаком ”” и содержащие множитель .

9. С каким знаком входит в определитель порядка n произведение элементов побочной диагонали ?

Ответы

1а. a² + b² + c² + d². 1б. 1. 1в. 1. 1г. 100. 1д. 0.  1е. 3i. 2a. х₁ = 3, x = 1. 2б. x = a, y = b, z = c. 2в. x₁ = 3, x₂ = x = x₃ = 1.  

3а. 3б. 3в.

4а.   4б. 5а. 5. 5б. 8. 5в. 6а. 3(). 6б. 11(). 6в. неч. 7а. (). 7б. (+). 7в. (+).

8. a₁₁ a₂₃ a₃₂ a₄₄,  a₁₂ a₂₃ a₃₄ a₄₁, а₁₄ a₂₃ a₃₁ a₄₂. 9.

Задание 5-1.

1. Как изменится определитель порядка n, если:

а) у всех его элементов изменить знак на противоположный ?

б) каждый его элемент умножить на ?

в) каждый его элемент заменить элементом, симметричным относительно

побочной диагонали ?

2. Разлагая по третьей строке, вычислить определитель: