Задание 9-4.

1.Перемножить матрицы:

2. Вычислить: а) б) в)f(x)=x²  2x + 1, x =  

3.Решить уравнения: а)  б) 

4.Найти обратную матрицу к матрице: а)  б)  в) 

5.Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны нулевой матрице.

6.Найти общее решение и фундаментальную систему решений сис- тем уравнений:

а) х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ = 0, б) х₁ + х₂ = 0,

3х₁ + 2х₂ + х₃ + х₄  3х₅ = 0,  х₃ + х₄ = 0,

х₂ + 2х₃ + 2х₄ + 6х₅ = 0, х₂ + ix₃ = 0.

5х₁ + 4х₂ + 3х₃ + 3х₄  х₅ = 0;

Ответы.

1а.   2а.  3а.

1б.   2б.   3б. Реш. нет.

1в.   2в.   4а. 4б.

1г.   4в. 5.  

6a. ФСР: (1, -2, 1, 0, 0), (1, 2, 0, 1, 0), (5, 6, 0, 0, 1);

Общ. реш.: x₁, = C₁ + C₂ + 5C₃, x₂ = 2C₁  2C₂ 6C₃, x₃ = C₁, x₄ = C₂, x₅ = C₃.

6б. ФСР: (i, i, 1, 1); Общ. реш.: x₁ = Сi, x₂ = Ci, x₃ = C, x₄ = C.

Задание 103.

1.Выполнить деление с остатком многочленов f(x) и g(x):

а) f(x) = x⁴  2x³ + 4x²  6x + 8, g(x) = (x  1);

б) f(x) = 4x³ + x², g(x) = x + 1 + i .

2.Подобрать такие многочлены U(x), V(x), что f(x)U(x) + g(x)V(x) = 1:

a) f(x) = x⁴  4x³ + 1, g(x) = x³  3x² + 1;

б) f(x) = x⁵  5x⁴  2x³ + 12x²  2x + 12, g(x) = x³  5x²  3x + 17.

3.Найти наибольший общий делитель многочленов:

а) x⁵ + 3x²  2x + 2 и   x⁶ + x⁵ + x⁴  3x² + 2x  6;

б) x⁵ + x⁴  x³  3x²  3x  1 и x⁴  2x³  x²  2x + 1.

4.Найти наибольший общий делитель полинома и его производной f(x)=(x  1)(x²  1)(x³  1)(x⁴  1).

5.Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы М₁(х) и

М₂(х) так, чтобы f₁ (x)M₂(x) + f₂(x)M₁(x) = (x), где (x)  наибольший общий делитель f₁(x) и f₂(x):

f₁(x) = x⁶  4x⁵ + 11x⁴  27x³ + 37x²  35x + 35,

f₂(x) = x⁵  3x⁴ + 7x³  20x² + 10x  25.

Ответы .

1а. (x1)(x³  x² + 3x  3) + 5. 2б. U(x) = 1/2(x² + 3),

1б. [4x²  (3 + 4i)x  1+   V(x)=1/2(x⁴  2x²  2).

+ 7i](x + 1 + i) + 8  6i.     3a. х³ + x² + 2.

2а. U(x) = 1/3(16x² + 37x + 26),  3б. x² + x + 1.

V(x) = 1/3(16x³  53x²  4. (x1)³(x+1).

37х + 23). 5. (3  x)f₁(x) + (x²  4x +4)f₂(x) =

= x² + 5.

Задание № 114

Разложить на неприводимые множители над полем С или полем

вещественных чисел многочлены:

1. х⁶  6х⁴  4х³ + 9х² + 12х + 4, 2. x⁴  10х² + 1,

3. х²ⁿ + хⁿ + 1, 4. x⁴  ах² + 1, 2 < a <2.

Ответы .

1. (x + 1)⁴(x  2)².

2. (x  )(x  )(x + )(x + ).

 4n1 0 (2k+1)2 7p

3. x²  2xсos + 1).

4. (x²  x+ 1)(x² + x + 1).