Задание № 151.
1.Ассоциативна ли операция на множестве М, если:
а) М = N, х y = ху,
б) М = N, х y = НОД(х,y) ,
в) М = N, х y = 2хy ?
2.Определены ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1, R, R+ следующие операции. Какие из операций обладают свойствами ассоциативности, коммутативности ?
а) а b = a + b, в) a b = ab,
б) a b = a b, г) a b = a/b.
3.Какие из указанных множеств с операциями являются группами:
а) (А, +), где А одно из множеств N, Z, Q, R, C;
б) (А, ), где А одно из множеств N, Z, Q, R, C;
в) (nZ, +), где n натуральное число;
г) множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно сложения;
д) множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно умножения;
е) множество невырожденных матриц относительно сложения;
ж) множество действительных многочленов степени n относительно сложения;
з) множество действительных многочленов любых степеней (включая нуль) относительно сложения;
и) множество векторов nмерного линейного пространства Rn относительно сложения;
к) матрицы порядка n с целыми элементами и определителем, равным 1, относительно умножения.
Ответы
1а. Нет. 1б. Да. 1в. Да. 2а. Ком., асс. 3а. Кроме N. 3б. R, C. 3в. Да. 3г. Да. 3д. Нет. 3е. Нет. 3ж. Нет. 3з. Да. 3и. Да. 3к. Да.
Задание № 16-4.
1.Найти порядок элемента группы:
а)
б)
2.Доказать, что если е - единица и а - элемент порядка n группы G, то аk = е тогда и только тогда, когда k делится на n.
3.Какие из следующих числовых множеств образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения:
а) множество Q;
б)
множество вещественных чисел вида x +
y
+ z
,
x, y,
Q ?
4.Какие из следующих матриц образуют кольца ?
а) 
б)
в)
г) множество матриц порядка n 2, у которых две последние строки нулевые;
д) множество вещественных симметрических матриц порядка n ?
5.Доказать, что следующие множества являются полями:
а) Q с операциями +, , *, где a*b = 2ab;
б) Кольцо классов вычетов Z3.
2.Показать
гомоморфизм колец 
и R при отображении
Ответы.
1а. 8; 1б. 8; 2. Док-во. 3а. Да. 3б. Да. 4а. Да. 4б. Нет. 4в. Да. 4г. Да. 4д. Нет.